Seja Mn,n(R) o espaço vetorial das matrizes n×n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn,n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, con...

(a) O conjunto das matrizes diagonais é um subespaço de Mn,n(R), pois é fechado sob a adição e a multiplicação por escalar. Além disso, a matriz nula pertence a esse conjunto. (b) O conjunto das matrizes triangulares para cima é um subespaço de Mn,n(R), pois é fechado sob a adição e a multiplicação por escalar. Além disso, a matriz nula pertence a esse conjunto. (c) O conjunto das matrizes triangulares ou para cima ou para baixo não é um subespaço de Mn,n(R), pois não é fechado sob a adição. Por exemplo, a soma de duas matrizes triangulares para cima resulta em uma matriz que não é triangular. (d) O conjunto das matrizes simétricas é um subespaço de Mn,n(R), pois é fechado sob a adição e a multiplicação por escalar. Além disso, a matriz nula pertence a esse conjunto. (e) O conjunto das matrizes com determinante 1 não é um subespaço de Mn,n(R), pois não é fechado sob a multiplicação por escalar. Por exemplo, a matriz identidade tem determinante 1, mas a matriz -2 vezes a identidade tem determinante -2. (f) O conjunto das matrizes com determinante 0 não é um subespaço de Mn,n(R), pois não é fechado sob a adição. Por exemplo, a soma de duas matrizes com determinante 0 pode ter determinante diferente de 0. (g) O conjunto {B ∈Mn,n(R) |AB = BA} com A ∈Mn,n(R) uma matriz fixa é um subespaço de Mn,n(R), pois é fechado sob a adição e a multiplicação por escalar. Além disso, a matriz nula pertence a esse conjunto. (h) O conjunto {B ∈Mn,n(R) |AB 6= BA} com A ∈Mn,n(R) uma matriz fixa não é um subespaço de Mn,n(R), pois não é fechado sob a adição. Por exemplo, a soma de duas matrizes que não comutam pode comutar. (i) O conjunto {B ∈Mn,n(R) |AB = 0} com A ∈Mn,n(R) uma matriz fixa é um subespaço de Mn,n(R), pois é fechado sob a adição e a multiplicação por escalar. Além disso, a matriz nula pertence a esse conjunto.