Indique quais dos seguintes sistemas de vetores de IR3 sobre IR são linearmente independentes.

Para determinar se um conjunto de vetores é linearmente independente, podemos usar o método da eliminação de Gauss-Jordan. Vamos analisar cada um dos sistemas de vetores de IR3 sobre IR: a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Esses vetores formam a base canônica de IR3, e são linearmente independentes. Portanto, a alternativa A é correta. b) {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} Podemos verificar que o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros: (7, 8, 9) = 3*(1, 2, 3) + (4, 5, 6). Portanto, esses vetores não são linearmente independentes. A alternativa B está incorreta. c) {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)} Esses vetores também não são linearmente independentes, pois o terceiro vetor é igual à soma dos dois primeiros: (3, 3, 3) = (1, 1, 1) + (2, 2, 2). Portanto, a alternativa C está incorreta. d) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 6)} Podemos verificar que o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros: (1, 3, 6) = 2*(1, 1, 1) + (1, 2, 3). Portanto, esses vetores não são linearmente independentes. A alternativa D está incorreta. e) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} Esses vetores são linearmente independentes, pois não é possível escrever um vetor como combinação linear dos outros dois. Portanto, a alternativa E é correta. Portanto, as alternativas corretas são A) e E).