AC21. Determinar la ecuación de la circunferencia que contiene los puntos A(7,2) y B(4,5), cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ...

Para determinar a equação da circunferência que contém os pontos A(7,2) e B(4,5), cujo centro está na reta definida pela equação x+y-6=0, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontre o ponto médio dos pontos A e B. Para isso, calcule a média das coordenadas x e y dos pontos A e B: Ponto médio = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) Ponto médio = ((7 + 4)/2, (2 + 5)/2) Ponto médio = (11/2, 7/2) Portanto, o ponto médio é M(11/2, 7/2). 2. Determine o vetor diretor da reta definida pela equação x+y-6=0. Para isso, observe os coeficientes das variáveis x e y na equação. Neste caso, o vetor diretor é (-1, 1). 3. Agora, podemos usar o ponto médio M e o vetor diretor (-1, 1) para encontrar o centro da circunferência. O centro da circunferência estará na reta perpendicular à reta definida pelo vetor diretor e passando pelo ponto médio M. 4. Encontre o vetor perpendicular ao vetor diretor (-1, 1). Para isso, troque as coordenadas e alterne o sinal de uma delas. Neste caso, o vetor perpendicular é (1, 1). 5. Agora, podemos usar o ponto médio M e o vetor perpendicular (1, 1) para encontrar o centro da circunferência. Para isso, podemos usar a equação da reta na forma geral: (x - x1)/a = (y - y1)/b, onde (x1, y1) é o ponto médio e (a, b) é o vetor perpendicular. Substituindo os valores, temos: (x - 11/2)/1 = (y - 7/2)/1 Simplificando, temos: x - 11/2 = y - 7/2 Rearranjando a equação, temos: x - y = 11/2 - 7/2 x - y = 4/2 x - y = 2 Portanto, a equação da reta perpendicular é x - y = 2. 6. Agora, temos a equação da reta perpendicular e o ponto médio M. Podemos encontrar o centro da circunferência encontrando a interseção entre a reta perpendicular e a reta definida pela equação x+y-6=0. Para isso, podemos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações. x - y = 2 x + y = 6 Somando as duas equações, temos: 2x = 8 x = 4 Substituindo o valor de x na segunda equação, temos: 4 + y = 6 y = 2 Portanto, o centro da circunferência é C(4, 2). 7. Agora que temos o centro da circunferência C(4, 2), podemos usar um dos pontos A ou B para encontrar o raio da circunferência. Vamos usar o ponto A(7, 2). O raio é a distância entre o centro C(4, 2) e o ponto A(7, 2). Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos: Raio = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) Raio = √((7 - 4)² + (2 - 2)²) Raio = √(3² + 0²) Raio = √9 Raio = 3 Portanto, o raio da circunferência é 3. 8. Agora que temos o centro C(4, 2) e o raio 3, podemos escrever a equação da circunferência na forma geral: (x - h)² + (y - k)² = r² Substituindo os valores, temos: (x - 4)² + (y - 2)² = 3² (x - 4)² + (y - 2)² = 9 Portanto, a equação da circunferência é (x - 4)² + (y - 2)² = 9.