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111. Se \(f(x) = \ln(\sin(x))\), qual é o valor de \(f'(0)\)? a) \(f'(0) = 0\) b) \(f'(0) = 1\) c) \(f'(0) = -1\) d) \(f'(0)\) não existe **Resposta:** d) \(f'(0)\) não existe **Explicação:** A derivada de \(f(x)\) em \(x = 0\) não existe porque \(\sin(0)\) resulta em uma divisão por zero dentro do logaritmo. 112. Qual é o resultado de \(\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin(x)} \, dx\)? a) \(\ln(2)\) b) \(\ln(3)\) c) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)\) d) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\right)\) **Resposta:** c) \(\ln\left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)\) **Explicação:** Para resolver esta integral, podemos usar a substituição direta, deixando \(u = \sin(x)\). 113. Se \(f(x) = \frac{1}{x}\), qual é o valor de \(f''(2)\)? a) \(f''(2) = \frac{1}{4}\) b) \(f''(2) = -\frac{1}{2}\) c) \(f''(2) = -1\) d) \(f''(2)\) não existe **Resposta:** c) \(f''(2) = -1\) **Explicação:** A segunda derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\) é \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\). Substituindo \(x = 2\), obtemos \(f''(2) = -1\). 114. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)}\)? a) 0 b) 1 c) \(\frac{3}{2}\) d) Indefinido