Calcular as dimensões de um recipiente cilíndrico de base circular, com tampa e com capacidade de 6 m³, para que se utilize a mínima quantidade de ...

Para calcular as dimensões de um recipiente cilíndrico de base circular com tampa e capacidade de 6 m³, de forma a utilizar a mínima quantidade de material em sua construção, siga os passos abaixo: 1. Fórmula da área total do cilindro em função do raio (r) e da altura (h): A = 2πr² + 2πrh 2. Fórmula do volume do cilindro em função do raio (r) e da altura (h): V = πr²h 3. Substitua a fórmula do volume (V) na fórmula da área total (A): A = 2πr² + 2πr(V/πr²) Simplificando, temos: A = 2πr² + 2V/r 4. Calcule a primeira derivada da função obtida (A) em relação ao raio (r) e encontre seus pontos críticos. Para isso, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: dA/dr = 4πr - 2V/r² = 0 4πr = 2V/r² r³ = V/(2π) 5. Calcule a segunda derivada da função obtida (A) em relação ao raio (r) e verifique se o ponto crítico encontrado é de mínimo. Para isso, substitua o valor de r encontrado na segunda derivada e verifique o sinal do resultado. 6. Calcule a altura (h) do cilindro para o raio (r) encontrado. Utilize a fórmula do volume (V) para encontrar o valor de h. 7. Calcule a quantidade mínima de material necessária para construir o recipiente. Utilize a fórmula da área total (A) e substitua os valores de r e h encontrados. Lembrando que esses cálculos são baseados em otimização matemática e podem variar dependendo das restrições e condições específicas do problema.