Use o teste D’Alambert (Teste da razão) para determinar se a série 1/(n^2 + n) converge ou diverge.

Para determinar se a série 1/(n^2 + n) converge ou diverge, podemos usar o Teste da Razão, também conhecido como Teste de D'Alembert. Vamos aplicar o teste: 1. Calcule o limite da razão entre os termos consecutivos da série: lim(n->inf) |(a_(n+1)/a_n)|, onde a_n = 1/(n^2 + n) 2. Simplifique a expressão: lim(n->inf) |(1/((n+1)^2 + (n+1)))/(1/(n^2 + n))| 3. Simplificando a expressão, temos: lim(n->inf) |(n^2 + n)/((n+1)^2 + (n+1))| 4. Expandindo os termos, temos: lim(n->inf) |(n^2 + n)/(n^2 + 3n + 2)| 5. Dividindo todos os termos por n^2, temos: lim(n->inf) |(1 + 1/n)/(1 + 3/n + 2/n^2)| 6. Tomando o limite quando n tende ao infinito, temos: lim(n->inf) |(1 + 0)/(1 + 0 + 0)| = 1/1 = 1 7. Analisando o valor do limite, se for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo. No caso da série 1/(n^2 + n), o limite é igual a 1. Portanto, o teste é inconclusivo e não podemos determinar se a série converge ou diverge apenas com o Teste da Razão. Seria necessário utilizar outros métodos para analisar a convergência ou divergência dessa série.