Considere uma corda de uma harpa de 2 metros de comprimento, dedilhada exatamente no seu ponto médio (c=1) , com h=0,1 , e que a solução da equação...

Question

Considere uma corda de uma harpa de 2 metros de comprimento, dedilhada exatamente no seu ponto médio (c=1) , com h=0,1 , e que a solução da equação...

Considere uma corda de uma harpa de 2 metros de comprimento, dedilhada exatamente no seu ponto médio (c=1) , com h=0,1 , e que a solução da equação da onda é dada por: u left parenthesis x comma t right parenthesis equals sum from n equals 1 to infinity of a subscript n s e n open parentheses fraction numerator n ?x over denominator L end fraction close parentheses cos open parentheses fraction numerator n pi a t over denominator L end fraction close parentheses a subscript n equals 2 over L integral subscript 0 superscript L f left parenthesis x right parenthesis s e n open parentheses fraction numerator n ?x over denominator L end fraction close parentheses d x a) Encontre a função f left parenthesis x right parenthesis com as condições dadas. b) Escreva a solução da equação da onda para o problema dado.

Equações Diferenciais Parciais

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Ahanguera

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Waldinei Viviane

03/06/2023

Ed · Answer

a) Para encontrar a função f(x), precisamos usar as condições de contorno. Sabemos que a corda tem 2 metros de comprimento, então L = 2. Além disso, a corda é dedilhada exatamente no seu ponto médio, então c = 1. Podemos usar a equação geral da onda para encontrar f(x):

u(x,t) = sum from n = 1 to infinity of [a_n * sin(n * pi * x / L) * cos(n * pi * a * t / L)]

Substituindo c = 1 e L = 2, temos:

u(x,t) = sum from n = 1 to infinity of [a_n * sin(n * pi * x / 2) * cos(n * pi * a * t / 2)]

Agora, precisamos encontrar os coeficientes a_n. Podemos fazer isso usando a fórmula:

a_n = (2/L) * integral de 0 a L de [f(x) * sin(n * pi * x / L) dx]

Substituindo L = 2 e h = 0,1, temos:

a_n = (1/2) * integral de 0 a 2 de [f(x) * sin(n * pi * x / 2) dx]

Para n = 1, temos:

a_1 = (1/2) * integral de 0 a 2 de [f(x) * sin(pi * x / 2) dx]

Usando a condição de contorno de que a corda é dedilhada exatamente no seu ponto médio, temos:

f(1) = 0,1

Podemos usar uma série de Fourier para representar f(x) como uma soma de senos:

f(x) = sum from n = 1 to infinity of [b_n * sin(n * pi * x / 2)]

Para encontrar os coeficientes b_n, podemos usar a fórmula:

b_n = (2/L) * integral de 0 a L de [f(x) * sin(n * pi * x / L) dx]

Substituindo L = 2 e f(x) = sum from n = 1 to infinity of [b_n * sin(n * pi * x / 2)], temos:

b_n = (1/2) * integral de 0 a 2 de [sum from m = 1 to infinity of [b_m * sin(m * pi * x / 2)] * sin(n * pi * x / 2) dx]

Podemos trocar a ordem da soma e da integral:

b_n = (1/2) * sum from m = 1 to infinity of [b_m * integral de 0 a 2 de [sin(m * pi * x / 2) * sin(n * pi * x / 2) dx]]

Usando a identidade trigonométrica:

sin(a) * sin(b) = (1/2) * [cos(a - b) - cos(a + b)]

Temos:

b_n = sum from m = 1 to infinity of [b_m * (1/2) * integral de 0 a 2 de [cos((m - n) * pi * x / 2) - cos((m + n) * pi * x / 2) dx]]

A integral do primeiro termo é zero, já que a função é ímpar. A integral do segundo termo é:

(1/2) * integral de 0 a 2 de [cos((m + n) * pi * x / 2) dx] = (1/2) * [2 * sin((m + n) * pi / 2) / ((m + n) * pi)] = (1/2) * [(-1)^((m + n)/2) / ((m + n) * pi)]

Substituindo em b_n, temos:

b_n = sum from m = 1 to infinity of [(-1)^((m + n)/2) * b_m / ((m + n) * pi)]

Para n = 1, temos:

b_1 = (2/2) * integral de 0 a 2 de [f(x) * sin(pi * x / 2) dx] = integral de 0 a 2 de [0,1 * sin(pi * x / 2) dx] = 2/π

Substituindo em a_1, temos:

a_1 = (1/2) * integral de 0 a 2 de [0,1 * sin(pi * x / 2) dx] = 1/π

Para n > 1, temos:

a_n = (1/2) * integral de 0 a 2 de [f(x) * sin(n * pi * x / 2) dx] = 0

b_n = sum from m = 1 to infinity of [(-1)^((m + n)/2) * b_m / ((m + n) * pi)]

b_n = (-1)^((n + 1)/2) * b_1 / (n * pi)

b_n = (-1)^((n + 1)/2) * (2/π) / (n * pi)

b_n = (-1)^((n + 1)/2) * 2 / (n^2 * π^2)

Portanto, a função f(x) é:

f(x) = sum from n = 1 to infinity of [(-1)^(n + 1) * 4 / (n^2 * π^2) * sin(n * pi * x / 2)]

b) Substituindo os coeficientes a_n e f(x) na equação geral da onda, temos:

u(x,t) = sum from n = 1 to infinity of [(-1)^(n + 1) * 4 / (n^2 * π^2) * sin(n * pi * x / 2) * cos(n * pi * a * t / 2)]

Considere uma corda de uma harpa de 2 metros de comprimento, dedilhada exatamente no seu ponto médio (c=1) , com h=0,1 , e que a solução da equação...

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Ahanguera

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