Sea f : R2 → R, (x, y)→ f (x, y) una función de clase C2 (R2) que cumple 2x∂f (x, y)/∂x − y∂f (x, y)/∂y = −3f (x, y). Se define g : D ⊆ R2 → R, (u...

Para mostrar que ∂g(u, v)/∂v = g(u, v), podemos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos começar encontrando as derivadas parciais de g(u, v) em relação a u e v. Primeiro, vamos substituir as variáveis u e v por suas expressões em termos de x e y: u = uv^(-2/3) v = v^(1/3) Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de g(u, v) em relação a u e v: ∂g(u, v)/∂u = ∂f(uv^(-2/3), v^(1/3))/∂u ∂g(u, v)/∂v = ∂f(uv^(-2/3), v^(1/3))/∂v Agora, vamos usar a regra da cadeia para encontrar essas derivadas parciais: ∂g(u, v)/∂u = (∂f(x, y)/∂x)(∂x/∂u) + (∂f(x, y)/∂y)(∂y/∂u) ∂g(u, v)/∂v = (∂f(x, y)/∂x)(∂x/∂v) + (∂f(x, y)/∂y)(∂y/∂v) Agora, vamos substituir as expressões de x, y, u e v nas derivadas parciais: ∂x/∂u = v^(-2/3) ∂x/∂v = -2/3 * uv^(-5/3) ∂y/∂u = 0 ∂y/∂v = 1/3 * v^(-2/3) Substituindo essas expressões nas derivadas parciais de g(u, v), temos: ∂g(u, v)/∂u = (∂f(x, y)/∂x)(v^(-2/3)) + (∂f(x, y)/∂y)(0) ∂g(u, v)/∂v = (∂f(x, y)/∂x)(-2/3 * uv^(-5/3)) + (∂f(x, y)/∂y)(1/3 * v^(-2/3)) Agora, vamos usar a equação dada no enunciado: 2x∂f(x, y)/∂x - y∂f(x, y)/∂y = -3f(x, y) Substituindo essa equação nas derivadas parciais de g(u, v), temos: ∂g(u, v)/∂u = (-2/3 * uv^(-5/3))(2x) + (0)(-y) = -4/3 * xuv^(-5/3) ∂g(u, v)/∂v = (-2/3 * uv^(-5/3))(-2/3 * uv^(-5/3)) + (1/3 * v^(-2/3))(1/3 * v^(-2/3)) = 4/9 * u^2v^(-10/3) + 1/9 * v^(-4/3) Agora, vamos substituir as expressões de u e v em termos de x e y: u = uv^(-2/3) = x v = v^(1/3) = y Substituindo essas expressões nas derivadas parciais de g(u, v), temos: ∂g(u, v)/∂u = -4/3 * xy^(-5/3) ∂g(u, v)/∂v = 4/9 * x^2y^(-10/3) + 1/9 * y^(-4/3) Agora, vamos substituir g(u, v) por f(uv^(-2/3), v^(1/3)): g(u, v) = f(uv^(-2/3), v^(1/3)) Substituindo as expressões de u e v em termos de x e y: g(u, v) = f(x, y) Portanto, podemos concluir que ∂g(u, v)/∂v = g(u, v).