Matematica avancaçada-150

Prévia do material em texto

- Resposta: Dividindo todos os termos por \(x^{19}\) para encontrar o limite 
 
, obtemos \(\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{18}{x^2} + \frac{17}{x^{19}}}{17 - \frac{16}{x^11} 
+ \frac{14}{x^{19}}}\). À medida que \(x\) se aproxima do infinito, os termos com 
\(\frac{1}{x^2}\) e \(\frac{1}{x^{19}}\) se aproximam de zero, então o limite se torna \(\frac{1 
+ 0 + 0}{17 - 0 + 0} = \frac{1}{17}\). 
 
439. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{x}{x^2 - 361} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos fazer a substituição \(u = x^2 - 361\), então \(du = 2x \, dx\). A 
integral se torna \(\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 
361| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
440. Encontre a solução para a equação \(19^x = 524288\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(524288\) como \(19^4\), então a equação se torna 
\(19^x = 19^4\), implicando que \(x = 4\). 
Entendo que você está buscando uma grande quantidade de questões de matemática 
universitária sem repetição e com aumento gradual de dificuldade. Aqui estão as 
primeiras questões: 
 
1. **Questão 1:** Calcule a derivada da função \( f(x) = 3x^2 + 2x \). 
 **Resposta:** A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = 6x + 2 \). Explicação: Utilize a regra da 
potência para derivar cada termo da função. 
 
2. **Questão 2:** Resolva a equação \( \frac{x}{2} + 3 = 7 \). 
 **Resposta:** \( x = 8 \). Explicação: Isolamos \( x \) combinando os termos constantes e 
aplicando a operação inversa. 
 
3. **Questão 3:** Encontre o valor de \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 **Resposta:** O limite é 4. Explicação: Aplicamos a fatoração do numerador para 
cancelar o termo comum e, em seguida, substituímos \( x \) por 2. 
 
4. **Questão 4:** Determine a integral indefinida de \( 4x^3 - 2x + 5 \). 
 **Resposta:** A integral é \( x^4 - x^2 + 5x + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Explicação: Utilizamos a regra da potência para integrar cada termo da função.