Problemas de Cálculo e Álgebra

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Resposta: O limite é \(+\infty\). Explicação: Este é um limite que tende ao infinito 
quando \(x\) tende ao infinito. 
 
77. Determine a solução para a equação diferencial \(y' + y = \sin(x)\). 
 Resposta: \(y = Ce^{-x} - \cos(x) + \sin(x)\), onde \(C\) é uma constante. Explicação: Esta 
é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. 
 
78. Se \(f(x) = \ln(x^2)\), qual é a sua derivada? 
 Resposta: \(f'(x) = \frac{2}{x}\). Explicação: A derivada do logarit 
 
mo natural de \(x^2\) é \(\frac{2}{x}\). 
 
79. Determine a área da região delimitada pela curva \(y = e^x\) e o eixo \(x\) entre \(x = 0\) 
e \(x = 1\). 
 Resposta: A área é \(e - 1\) unidades quadradas. Explicação: Usamos o método da 
integral definida para encontrar a área sob a curva. 
 
80. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \(y = e^x\) 
e \(y = 0\) em torno do eixo \(x\). 
 Resposta: \(2\pi(e - 1)\) unidades cúbicas. Explicação: Usamos o método de volumes de 
revolução para encontrar o volume do sólido gerado. 
 
81. Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ 
 \begin{align*} 
 x + 2y &= 3 \\ 
 3x - y &= 4 
 \end{align*} 
 \] 
 Resposta: \(x = 1\) e \(y = 1\). Explicação: Podemos resolver este sistema usando 
substituição ou eliminação. 
 
82. Encontre a inversa da função \(f(x) = \log_2(x)\).