2. a) (12 pontos) Sea f(x, y, z) = x3 + 2xy + y2 + z2 − 5x− 4z. (i) Verifique que P1(5/3, −5/3, 2) y P2(−1, 1, 2) son puntos crı́ticos de f. (ii) C...

Na letra a, para verificar que P1(5/3, -5/3, 2) e P2(-1, 1, 2) são pontos críticos de f, é necessário calcular o gradiente de f e verificar onde ele é nulo. O gradiente de f é dado por: ∇f(x, y, z) = (3x² + 2y - 5, 2x + 2y, 2z - 4) Substituindo P1 e P2 em ∇f(x, y, z), temos: ∇f(5/3, -5/3, 2) = (0, 0, 0) ∇f(-1, 1, 2) = (0, 0, 0) Portanto, P1 e P2 são pontos críticos de f. Para classificar os pontos críticos, é necessário calcular a matriz Hessiana de f e verificar seu determinante e seus autovalores. A matriz Hessiana de f é dada por: Hf(x, y, z) = (6x 2 0) (2 2 0) (0 0 2) Substituindo P1 e P2 em Hf(x, y, z), temos: Hf(5/3, -5/3, 2) = (10 2 0) (2 2 0) (0 0 2) Hf(-1, 1, 2) = (-6 2 0) (2 2 0) (0 0 2) Calculando o determinante de Hf(P1) e Hf(P2), temos: det(Hf(5/3, -5/3, 2)) = 40 > 0 det(Hf(-1, 1, 2)) = -24 < 0 Como o determinante de Hf(P1) é positivo e o de Hf(P2) é negativo, P1 é um ponto de mínimo local e P2 é um ponto de máximo local. Na letra b, para encontrar os extremos de f(x, y, z) = x + 2y - z + 1 na esfera x² + y² + z² = 2, é necessário utilizar multiplicadores de Lagrange. A função a ser maximizada/minimizada é: F(x, y, z, λ) = x + 2y - z + 1 + λ(x² + y² + z² - 2) Calculando o gradiente de F e igualando a zero, temos: ∇F(x, y, z, λ) = (1 + 2λx, 2 + 2λy, -1 + 2λz, x² + y² + z² - 2) = (0, 0, 0, 0) Da última equação, temos que x² + y² + z² = 2, que é a restrição da esfera. Substituindo essa equação nas três primeiras equações, temos: 1 + 2λx = 0 2 + 2λy = 0 -1 + 2λz = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos: x = -1/√6 y = -1/√6 z = 2/√6 λ = 1/2√6 Substituindo esses valores em F, temos: F(-1/√6, -1/√6, 2/√6, 1/2√6) = -1/√6 + 2/√6 - 2/√6 + 1 = 1/√6 Portanto, o ponto (-1/√6, -1/√6, 2/√6) é um ponto de mínimo global de f sujeita à restrição da esfera.