Calculando a integral ∫ex sen(x) dx pelo método da integração por partes, teremos: A) B) C) X D) E)

Para calcular a integral ∫ex sen(x) dx pelo método da integração por partes, devemos escolher u e dv da seguinte forma: u = sen(x) --> du/dx = cos(x) dv = ex dx --> v = ex Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: ∫ex sen(x) dx = ex sen(x) - ∫ex cos(x) dx Agora, para calcular a integral ∫ex cos(x) dx, podemos utilizar novamente o método da integração por partes, escolhendo u e dv da seguinte forma: u = cos(x) --> du/dx = -sen(x) dv = ex dx --> v = ex Aplicando a fórmula da integração por partes novamente, temos: ∫ex cos(x) dx = ex cos(x) + ∫ex sen(x) dx Substituindo o valor da integral ∫ex sen(x) dx na equação acima, temos: ∫ex cos(x) dx = ex cos(x) + ex sen(x) - ∫ex cos(x) dx Isolando a integral ∫ex cos(x) dx, temos: 2∫ex cos(x) dx = ex cos(x) + ex sen(x) ∫ex cos(x) dx = (1/2)ex cos(x) + (1/2)ex sen(x) Portanto, a alternativa correta é a letra D).