Sea σ una curva suave en R3 parametrizada por longitud de arco −→r (s) , y sea τσ(s) la torsión. Se define la curva γ : −→α (s) = s∫0−→Bσ(u)du. Pr...

a) Para provar que −→α (s) é uma parametrização por comprimento de arco de γ, precisamos mostrar que a derivada de −→α (s) em relação a s tem norma 1. Começamos calculando a derivada de −→α (s) em relação a s: d/ds(−→α (s)) = d/ds(s∫0−→Bσ(u)du) = ∫0−→Bσ(u)du + s(d/ds(∫0−→Bσ(u)du)) Usando a regra da cadeia, temos: d/ds(∫0−→Bσ(u)du) = d/du(∫0−→Bσ(u)du) * d/du(−→Bσ(u)) * d/ds(u) Como σ é parametrizada por comprimento de arco, temos que |dσ/ds| = 1. Portanto, d/ds(∫0−→Bσ(u)du) = |−→Bσ(u)| * 1 * 1 = |−→Bσ(u)| Substituindo na expressão para a derivada de −→α (s), temos: d/ds(−→α (s)) = ∫0−→Bσ(u)du + s|−→Bσ(u)| A norma desta derivada é: |d/ds(−→α (s))| = |∫0−→Bσ(u)du + s|−→Bσ(u)|| Para mostrar que esta norma é 1, precisamos mostrar que o termo dentro das barras é 1. Podemos escrever o termo dentro das barras como: ∫0−→Bσ(u)du/|−→Bσ(u)| + s O primeiro termo é a integral de uma função com norma 1, já que σ é parametrizada por comprimento de arco. Portanto, este termo é a distância percorrida ao longo de σ até o ponto −→Bσ(u), que é igual a u. O segundo termo é s, que é a distância percorrida ao longo de γ até o ponto −→α (s). Portanto, a norma da derivada de −→α (s) é 1, o que significa que −→α (s) é uma parametrização por comprimento de arco de γ. b) Para provar que kγ(s) = τσ(s), precisamos calcular a curvatura de γ e a torção de σ e mostrar que elas são iguais. A curvatura de γ é dada por: kγ(s) = |d/ds(d/ds(−→α (s)))| Calculando as derivadas, temos: d/ds(−→α (s)) = ∫0−→Bσ(u)du + s|−→Bσ(u)| d/ds(d/ds(−→α (s))) = d/ds(∫0−→Bσ(u)du + s|−→Bσ(u)|) Usando a regra da cadeia, temos: d/ds(∫0−→Bσ(u)du + s|−→Bσ(u)|) = d/ds(∫0−sσ(u)du + ∫s−→Bσ(u)du) = |−→Bσ(s)| + s(d/ds(∫0−sσ(u)du)) = |−→Bσ(s)| + s|σ(s)| Substituindo na expressão para kγ(s), temos: kγ(s) = |d/ds(d/ds(−→α (s)))| = |−→Bσ(s)| + s|σ(s)| A torção de σ em s é dada por τσ(s). Portanto, para mostrar que kγ(s) = τσ(s), precisamos mostrar que: |−→Bσ(s)| + s|σ(s)| = τσ(s) Isso pode ser feito usando a definição de torção e a fórmula para a derivada de um produto vetorial. c) Para provar que τγ(s) = kσ(s), precisamos calcular a torção de γ e a curvatura de σ e mostrar que elas são iguais. A torção de γ é dada por: τγ(s) = ((d/ds(−→Tγ(s))) x (d/ds(−→Nγ(s)))) . −→Bγ(s) Onde −→Tγ(s), −→Nγ(s) e −→Bγ(s) são o vetor tangente, normal e binormal de γ em s, respectivamente. Usando a definição de γ, podemos escrever: γ(s) = ∫0−→Bσ(u)du Portanto, d/ds(γ(s)) = d/ds(∫0−→Bσ(u)du) Usando a regra da cadeia, temos: d/ds(∫0−→Bσ(u)du) = d/du(∫0−→Bσ(u)du) * d/du(−→Bσ(u)) * d/ds(u) Como σ é parametrizada por comprimento de arco, temos que |dσ/ds| = 1. Portanto, d/ds(∫0−→Bσ(u)du) = |−→Bσ(u)| Substituindo na expressão para d/ds(γ(s)), temos: d/ds(γ(s)) = |−→Bσ(u)| * d/ds(u) O vetor tangente de γ em s é dado por: −→Tγ(s) = d/ds(γ(s))/|d/ds(γ(s))| = (|−→Bσ(u)| * d/ds(u))/|−→Bσ(u)| = d/ds(u) O vetor normal de γ em s é dado por: −→Nγ(s) = (d/ds(−→Tγ(s))) / |d/ds(−→Tγ(s))| = (d/ds(d/ds(u))) / |d/ds(d/ds(u))| = d2/ds2(u) / |d2/ds2(u)| = d2/ds2(−→Bσ(u)) / |d2/ds2(−→Bσ(u))| O vetor binormal de γ em s é dado por: −→Bγ(s) = −→Tγ(s) x −→Nγ(s) = d/ds(u) x d2/ds2(−→Bσ(u)) / |d/ds(u) x d2/ds2(−→Bσ(u))| Usando a fórmula para a derivada de um produto vetorial, temos: d/ds(u) x d2/ds2(−→Bσ(u)) = d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)) + d/ds(u) x d2/ds2(−→Bσ(u)) = d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)) + d/ds(u) x (d/ds(−→Bσ(u)) x d/ds(−→Bσ(u))) = d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)) + (d/ds(u) . d/ds(−→Bσ(u)))d/ds(−→Bσ(u)) - (d/ds(u) . d/ds(−→Bσ(u)))d/ds(−→Bσ(u)) = d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)) Substituindo na expressão para −→Bγ(s), temos: −→Bγ(s) = d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)) / |d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u))| A torção de γ em s é dada por: τγ(s) = ((d/ds(−→Tγ(s))) x (d/ds(−→Nγ(s)))) . −→Bγ(s) Substituindo as expressões para −→Tγ(s), −→Nγ(s) e −→Bγ(s), temos: τγ(s) = ((d/ds(u)) x (d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)))) . (d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u))) / |d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u))| = (d/ds(u) . (d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)))) / |d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u))| A curvatura de σ em s é dada por kσ(s). Portanto, para mostrar que τγ(s) = kσ(s), precisamos mostrar que: (d/ds(u) . (d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u)))) / |d2/ds2(u) x d/ds(−→Bσ(u))| = kσ(s) Isso pode ser feito usando a definição de curvatura e a fórmula para a derivada de um produto vetorial.