Calcule el valor de la integral de ĺınea∮γx+yx2+y3x2+y2dx+y−y2x−x3x2+y2dydonde γ es la elipse de ecuación x2+2y2=1 recorrida en sentido antihorar...

Para calcular o valor da integral de linha ∮γ x+y/(x²+y³) dx + y-y²/(x³+y²) dy, onde γ é a elipse de equação x²+2y²=1 percorrida no sentido anti-horário, podemos aplicar o Teorema de Green para obter a integral dupla de (∂Q/∂x - ∂P/∂y) sobre a região R, que é igual a -2 vezes a área de R. Assim, temos que P = x+y/(x²+y³) e Q = y-y²/(x³+y²), e suas derivadas parciais são ∂P/∂y = 3y²-1/(x²+y³)² e ∂Q/∂x = 2x³-2xy²/(x³+y²)². Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos que a integral de linha é igual a -2 vezes a integral dupla de (3y²-1/(x²+y³)² - (2x³-2xy²/(x³+y²)²)) dA sobre a região R. Para encontrar a área de R, podemos usar a mudança de variáveis x = √(2)cos(t) e y = √(1/2)sin(t), que transforma a elipse em um círculo de raio √(1/2) e centro na origem. Assim, a área de R é π/2. Substituindo na fórmula da integral de linha, temos que o valor da integral é -2 vezes a integral dupla de (3y²-1/(x²+y³)² - (2x³-2xy²/(x³+y²)²)) dA sobre o círculo de raio ϵ, que tende a zero quando ϵ tende a zero. Portanto, a integral de linha sobre γ é igual a -2 vezes a área de R, que é -π.