Prove que: (a) As diagonais de um losango são perpendiculares. (b) |~u+~v|2 + |~u−~v|2 = 2(|~u|2 + |~v|2). Conclua que a soma dos quadrados dos co...

(a) Para provar que as diagonais de um losango são perpendiculares, podemos utilizar a propriedade dos losangos que diz que seus lados são congruentes e suas diagonais se intersectam no ponto médio. Vamos chamar os vértices do losango de A, B, C e D, e as diagonais de AC e BD. Podemos utilizar a definição de vetor para representar os segmentos de reta AC e BD. Sejam ~u = AB e ~v = AD. Sabemos que um vetor é perpendicular a outro se o produto escalar entre eles for igual a zero. Para provar que AC e BD são perpendiculares, precisamos mostrar que o produto escalar entre ~u e ~v é igual a zero. Podemos calcular o produto escalar utilizando a fórmula: ~u · ~v = |~u| * |~v| * cos(θ) Onde |~u| e |~v| são os módulos dos vetores ~u e ~v, respectivamente, e θ é o ângulo entre eles. No caso do losango, os vetores ~u e ~v são perpendiculares, pois os lados opostos são congruentes. Portanto, o ângulo entre eles é de 90 graus, o que implica que cos(θ) = 0. Assim, temos: ~u · ~v = |~u| * |~v| * cos(θ) = |~u| * |~v| * 0 = 0 Portanto, as diagonais AC e BD de um losango são perpendiculares. (b) Para provar a igualdade |~u+~v|² + |~u-~v|² = 2(|~u|² + |~v|²), podemos utilizar a propriedade do produto escalar de vetores. Vamos expandir a expressão e demonstrar a igualdade. Começamos expandindo |~u+~v|²: |~u+~v|² = (~u+~v) · (~u+~v) Utilizando a propriedade distributiva do produto escalar, temos: |~u+~v|² = ~u·~u + ~u·~v + ~v·~u + ~v·~v Agora, expandimos |~u-~v|²: |~u-~v|² = (~u-~v) · (~u-~v) Utilizando novamente a propriedade distributiva, temos: |~u-~v|² = ~u·~u - ~u·~v - ~v·~u + ~v·~v Agora, somamos as duas expressões: |~u+~v|² + |~u-~v|² = (~u·~u + ~u·~v + ~v·~u + ~v·~v) + (~u·~u - ~u·~v - ~v·~u + ~v·~v) Simplificando os termos semelhantes, temos: |~u+~v|² + |~u-~v|² = 2(~u·~u + ~v·~v) Agora, vamos demonstrar que 2(|~u|² + |~v|²) é igual a 2(~u·~u + ~v·~v): 2(|~u|² + |~v|²) = 2(|~u|²) + 2(|~v|²) Utilizando a definição de módulo de vetor, temos: 2(|~u|² + |~v|²) = 2(~u·~u) + 2(~v·~v) Portanto, temos que |~u+~v|² + |~u-~v|² = 2(|~u|² + |~v|²), o que conclui a primeira parte da questão. Para a segunda parte da questão, vamos considerar um paralelogramo ABCD, onde AB e CD são os lados opostos e AC e BD são as diagonais. Queremos provar que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados. Sabemos que AC = ~u e BD = ~v, onde ~u e ~v são vetores que representam as diagonais AC e BD, respectivamente. Também sabemos que AB = ~w e CD = ~x, onde ~w e ~x são vetores que representam os lados AB e CD, respectivamente. Podemos utilizar a igualdade que provamos anteriormente: |~u+~v|² + |~u-~v|² = 2(|~u|² + |~v|²) Substituindo ~u por AC e ~v por BD, temos: |AC+BD|² + |AC-BD|² = 2(|AC|² + |BD|²) Utilizando a definição de vetor, podemos escrever AC+BD como ~u+~v e AC-BD como ~u-~v. Também podemos escrever |AC|² como ~u·~u e |BD|² como ~v·~v. Assim, temos: |~u+~v|² + |~u-~v|² = 2(|~u|² + |~v|²) Substituindo ~u por AC e ~v por BD, temos: |AC+BD|² + |AC-BD|² = 2(|AC|² + |BD|²) Substituindo ~u por AB e ~v por CD, temos: |AB+CD|² + |AB-CD|² = 2(|AB|² + |CD|²) Portanto, a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados.