Considering the function f(x,y) = 6xy - 2yxy^2 - xy^3, and the hypotheses of the Clairaut's theorem are satisfied, we can affirm that: a. □ f = 0...

A partir da função f(x,y) = 6xy - 2yxy^2 - xy^3, e considerando que as hipóteses do teorema de Clairaut são satisfeitas, podemos afirmar que a alternativa correta é a letra E: ⬛ f = 6x y - 2y.yx 2. O teorema de Clairaut afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função forem contínuas em uma região aberta, então as derivadas parciais mistas serão iguais. Nesse caso, temos que fxy = fyx = 6 - 4y^2 - 3xy^2. Substituindo yx por xy, temos que fxy = fyx = 6 - 4x^2 - 3x^2y. Assim, podemos calcular f da seguinte forma: f = ∫(6 - 4y^2 - 3xy^2)dy = 6y - 4y^3/3 - xy^3 + C1(x) f = ∫(6 - 4x^2 - 3x^2y)dx = 6x - 4x^3/3 - x^3y + C2(y) Onde C1(x) e C2(y) são constantes de integração. Para encontrar a expressão de f, devemos igualar as duas expressões obtidas para f e eliminar as constantes de integração. Assim, temos que: 6y - 4y^3/3 - xy^3 + C1(x) = 6x - 4x^3/3 - x^3y + C2(y) Derivando em relação a x, obtemos: -4y^3/3 - y^3x + C1'(x) = -4x^2 - 3x^2y Derivando em relação a y, obtemos: 6 - 4y^2 - 3xy^2 = -x^3 + C2'(y) Igualando as duas expressões obtidas para as derivadas parciais mistas, temos: -4y^3/3 - y^3x + C1'(x) = 6 - 4y^2 - 3xy^2 Resolvendo para C1'(x), temos: C1'(x) = 4y^2 - 3xy^2 - y^3x + 6 - 4y^2 - 3xy^2 C1'(x) = -4y^2 - 3xy^2 - y^3x + 6 Substituindo C1'(x) na expressão de f, temos: f = 6y - 4y^3/3 - xy^3 - 4y^2 - 3xy^2 - y^3x + 6 f = 6xy - 2yxy^2 - xy^3 Portanto, a alternativa correta é a letra E: ⬛ f = 6x y - 2y.yx 2.