2a Questão Sendo f(x) = x4 - 3x3 - 6x2 + 8x, determine os intervalos onde o gráfico de f(x) tem concavidade para voltada para cima, para baixo e en...

Para determinar os intervalos onde o gráfico de f(x) tem concavidade voltada para cima ou para baixo, precisamos analisar a segunda derivada da função. Vamos começar encontrando a segunda derivada de f(x): f(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x f'(x) = 4x^3 - 9x^2 - 12x + 8 f''(x) = 12x^2 - 18x - 12 Agora, vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar os pontos de inflexão: 12x^2 - 18x - 12 = 0 Dividindo todos os termos por 6, temos: 2x^2 - 3x - 2 = 0 Podemos fatorar essa equação: (2x + 1)(x - 2) = 0 Portanto, os pontos de inflexão ocorrem quando x = -1/2 ou x = 2. Agora, vamos analisar os intervalos onde a concavidade é voltada para cima ou para baixo. Para isso, podemos fazer uma tabela de sinais da segunda derivada: Intervalo (-∞, -1/2): Substituindo um valor menor que -1/2 na segunda derivada, por exemplo, x = -1, temos: f''(-1) = 12(-1)^2 - 18(-1) - 12 = 12 + 18 - 12 = 18 > 0 Portanto, nesse intervalo, a concavidade é voltada para cima. Intervalo (-1/2, 2): Substituindo um valor entre -1/2 e 2 na segunda derivada, por exemplo, x = 0, temos: f''(0) = 12(0)^2 - 18(0) - 12 = -12 < 0 Portanto, nesse intervalo, a concavidade é voltada para baixo. Intervalo (2, +∞): Substituindo um valor maior que 2 na segunda derivada, por exemplo, x = 3, temos: f''(3) = 12(3)^2 - 18(3) - 12 = 108 - 54 - 12 = 42 > 0 Portanto, nesse intervalo, a concavidade é voltada para cima. Resumindo: - A concavidade é voltada para cima no intervalo (-∞, -1/2) e (2, +∞). - A concavidade é voltada para baixo no intervalo (-1/2, 2). Espero ter ajudado!