Determine si el siguiente conjunto V es un subespacio vectorial de R3. En caso de no serlo establezca las condiciones para que lo sea. V = {(p, q, ...

Para determinar se o conjunto V é um subespaço vetorial de R3, precisamos verificar se ele satisfaz as três condições para ser considerado um subespaço: 1. O vetor nulo deve pertencer a V. 2. V deve ser fechado sob a adição de vetores. 3. V deve ser fechado sob a multiplicação por um escalar. Vamos analisar cada uma dessas condições: 1. O vetor nulo é (0, 0, 0). Vamos verificar se ele pertence a V: Substituindo p = -q e 3r = q + 2p na equação, temos: -q = -q e 3r = q + 2(-q) -q = -q e 3r = q - 2q -q = -q e 3r = -q Essas equações são verdadeiras para qualquer valor de q e r. Portanto, o vetor nulo pertence a V. 2. Vamos verificar se V é fechado sob a adição de vetores: Se (p1, q1, r1) e (p2, q2, r2) pertencem a V, então a soma desses vetores também deve pertencer a V. Substituindo p = -q e 3r = q + 2p nas equações, temos: p1 = -q1 e 3r1 = q1 + 2p1 p2 = -q2 e 3r2 = q2 + 2p2 Somando essas equações, obtemos: p1 + p2 = -q1 - q2 e 3(r1 + r2) = (q1 + q2) + 2(p1 + p2) Essas equações também são verdadeiras para qualquer valor de q1, q2, r1 e r2. Portanto, V é fechado sob a adição de vetores. 3. Vamos verificar se V é fechado sob a multiplicação por um escalar: Se (p, q, r) pertence a V e k é um escalar, então o produto k(p, q, r) também deve pertencer a V. Substituindo p = -q e 3r = q + 2p na equação, temos: p = -q e 3r = q + 2p Multiplicando essas equações por k, obtemos: kp = -kq e 3kr = kq + 2kp Essas equações também são verdadeiras para qualquer valor de k, q e r. Portanto, V é fechado sob a multiplicação por um escalar. Portanto, concluímos que o conjunto V = {(p, q, r) ∈ R3/p = −q ∧ 3r = q + 2p} é um subespaço vetorial de R3, pois satisfaz todas as condições necessárias.