10.21. Hiperplanos Sea V un espacio vectorial real de dimensión n > 1. Se dice que H es un hiperplano de V cuando H es un subespacio vectorial de ...

Para determinar se os subconjuntos H1, H2, H3 e H4 são subespaços ou hiperplanos do espaço vetorial R3, precisamos verificar se eles atendem às condições necessárias. Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições: 1. Deve conter o vetor nulo (0, 0, 0). 2. Deve ser fechado sob a adição de vetores. 3. Deve ser fechado sob a multiplicação por um escalar. Vamos analisar cada subconjunto: H1 = {(x, x, x) : x ∈ R} - Contém o vetor nulo (0, 0, 0). - É fechado sob a adição de vetores. - É fechado sob a multiplicação por um escalar. Portanto, H1 é um subespaço vetorial. H2 = {(x, x, y) : x ∈ R, y ∈ R} - Não contém o vetor nulo (0, 0, 0). - Não é fechado sob a adição de vetores. - Não é fechado sob a multiplicação por um escalar. Portanto, H2 não é um subespaço vetorial. H3 = {(x, x, 0) : x ∈ R} - Contém o vetor nulo (0, 0, 0). - É fechado sob a adição de vetores. - É fechado sob a multiplicação por um escalar. Portanto, H3 é um subespaço vetorial. H4 = {(x, x, 1) : x ∈ R} - Não contém o vetor nulo (0, 0, 0). - Não é fechado sob a adição de vetores. - Não é fechado sob a multiplicação por um escalar. Portanto, H4 não é um subespaço vetorial. Resumindo: H1 é um subespaço vetorial. H2 não é um subespaço vetorial. H3 é um subespaço vetorial. H4 não é um subespaço vetorial. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.