3) a) Hallar los puntos de la curva 3 22 4y x x x= + + en los cuales la recta tangente es paralela a la recta tangente a la curva 2y x x= + en el...

Para encontrar os pontos da curva em que a reta tangente é paralela à reta tangente da curva 2y = x^2, primeiro precisamos encontrar as derivadas das duas curvas. A curva 3x^2 + 4xy + x = 0 tem como derivada em relação a x: dy/dx = (-3x - 1)/(4y + 2x) A curva 2y = x^2 tem como derivada em relação a x: dy/dx = 2x Agora, igualamos as duas derivadas para encontrar os pontos em que as retas tangentes são paralelas: (-3x - 1)/(4y + 2x) = 2x Resolvendo essa equação, encontramos os valores de x que satisfazem a condição. Em seguida, substituímos esses valores de x na equação original para encontrar os valores correspondentes de y. Para verificar se as hipóteses do Teorema de Rolle são cumpridas na função f(x) = (x^2 - 6x + 2) no intervalo [1, 3], precisamos verificar se a função é contínua no intervalo e se ela é diferenciável em todos os pontos do intervalo, exceto possivelmente nos pontos extremos. Além disso, precisamos verificar se f(1) = f(3), ou seja, se a função tem o mesmo valor nos pontos extremos do intervalo. Se todas essas condições forem atendidas, podemos aplicar o Teorema de Rolle para verificar se existe pelo menos um ponto c no intervalo [1, 3] onde f'(c) = 0. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.