EP3. Dada la función f(x) = -4x3+ 3x - 2 determinar: a. Puntos críticos b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento c. Máximos y mínimos

a. Para encontrar los puntos críticos de la función f(x), debemos encontrar los valores de x donde la derivada de f(x) es igual a cero. Primero, calculemos la derivada de f(x): f'(x) = -12x^2 + 3 Ahora, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación: -12x^2 + 3 = 0 Dividimos por -3 para simplificar: 4x^2 - 1 = 0 Ahora, resolvemos la ecuación cuadrática: 4x^2 = 1 x^2 = 1/4 Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos: x = ±1/2 Por lo tanto, los puntos críticos de la función f(x) son x = -1/2 y x = 1/2. b. Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x), podemos utilizar la primera derivada. Observamos que la derivada f'(x) es negativa para valores de x menores a -1/2 y positiva para valores de x mayores a 1/2. Por lo tanto, la función f(x) es decreciente en el intervalo (-∞, -1/2) y creciente en el intervalo (1/2, +∞). c. Para encontrar los máximos y mínimos de la función f(x), podemos utilizar la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de f(x): f''(x) = -24x Observamos que la segunda derivada es negativa para todos los valores de x. Esto significa que la función f(x) no tiene puntos de inflexión ni máximos o mínimos locales. Sin embargo, podemos verificar los valores de f(x) en los puntos críticos para determinar si hay un máximo o mínimo absoluto. Evaluamos f(x) en x = -1/2: f(-1/2) = -4(-1/2)^3 + 3(-1/2) - 2 = -1/8 - 3/2 - 2 = -1/8 - 12/8 - 16/8 = -29/8 Evaluamos f(x) en x = 1/2: f(1/2) = -4(1/2)^3 + 3(1/2) - 2 = -1/2 + 3/2 - 2 = -1/2 + 3/2 - 4/2 = -2/2 = -1 Por lo tanto, el mínimo absoluto de la función f(x) es -29/8 y ocurre en x = -1/2. No hay máximo absoluto.