ER4 Dada la función f(x) = 4x4 - 4x² determinar: a. Puntos críticos b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento c. Máximos y mínimos con el criter...

a. Para encontrar os pontos críticos da função f(x) = 4x^4 - 4x^2, devemos encontrar os valores de x onde a derivada da função é igual a zero ou não está definida. Vamos calcular a derivada da função: f'(x) = 16x^3 - 8x Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: 16x^3 - 8x = 0 8x(2x^2 - 1) = 0 Isso nos dá duas soluções: x = 0 e x = ±√(1/2). Portanto, os pontos críticos são x = 0, x = √(1/2) e x = -√(1/2). b. Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, podemos usar a primeira derivada. Vamos analisar os sinais da derivada em diferentes intervalos: Intervalo (-∞, -√(1/2)): Escolhendo um valor dentro desse intervalo, como x = -1, podemos substituir na derivada: f'(-1) = 16(-1)^3 - 8(-1) = -8 - 8 = -16 A derivada é negativa nesse intervalo, portanto, a função está decrescendo. Intervalo (-√(1/2), √(1/2)): Escolhendo um valor dentro desse intervalo, como x = 0, podemos substituir na derivada: f'(0) = 16(0)^3 - 8(0) = 0 A derivada é igual a zero nesse intervalo, portanto, não podemos determinar se a função está crescendo ou decrescendo apenas com a primeira derivada. Intervalo (√(1/2), +∞): Escolhendo um valor dentro desse intervalo, como x = 1, podemos substituir na derivada: f'(1) = 16(1)^3 - 8(1) = 16 - 8 = 8 A derivada é positiva nesse intervalo, portanto, a função está crescendo. c. Para determinar os máximos e mínimos com o critério da primeira derivada, devemos analisar os pontos críticos e verificar se ocorre uma mudança de crescimento para decrescimento ou vice-versa. No caso da função f(x) = 4x^4 - 4x^2, temos os pontos críticos x = 0, x = √(1/2) e x = -√(1/2). Analisando os intervalos em torno desses pontos críticos, podemos concluir: - No intervalo (-∞, -√(1/2)), a função está decrescendo. - No intervalo (-√(1/2), √(1/2)), não podemos determinar se a função está crescendo ou decrescendo. - No intervalo (√(1/2), +∞), a função está crescendo. Portanto, temos um mínimo local em x = -√(1/2) e um máximo local em x = √(1/2). d. Para encontrar os pontos de inflexão, devemos analisar a concavidade da função. Isso pode ser feito através da segunda derivada. Vamos calcular a segunda derivada da função f(x): f''(x) = 48x^2 - 8 Agora, igualamos a segunda derivada a zero e resolvemos a equação: 48x^2 - 8 = 0 48x^2 = 8 x^2 = 8/48 x^2 = 1/6 x = ±√(1/6) Portanto, os pontos de inflexão são x = √(1/6) e x = -√(1/6). e. Para determinar os intervalos de concavidade, podemos usar a segunda derivada. Vamos analisar os sinais da segunda derivada em diferentes intervalos: Intervalo (-∞, -√(1/6)): Escolhendo um valor dentro desse intervalo, como x = -1, podemos substituir na segunda derivada: f''(-1) = 48(-1)^2 - 8 = 48 - 8 = 40 A segunda derivada é positiva nesse intervalo, portanto, a função é concava para cima. Intervalo (-√(1/6), √(1/6)): Escolhendo um valor dentro desse intervalo, como x = 0, podemos substituir na segunda derivada: f''(0) = 48(0)^2 - 8 = -8 A segunda derivada é negativa nesse intervalo, portanto, a função é concava para baixo. Intervalo (√(1/6), +∞): Escolhendo um valor dentro desse intervalo, como x = 1, podemos substituir na segunda derivada: f''(1) = 48(1)^2 - 8 = 48 - 8 = 40 A segunda derivada é positiva nesse intervalo, portanto, a função é concava para cima. Portanto, temos os intervalos de concavidade: (-∞, -√(1/6)) e (√(1/6), +∞). f. Para determinar os máximos e mínimos com o critério da segunda derivada, devemos analisar os pontos críticos e verificar se ocorre uma mudança de concavidade. No caso da função f(x) = 4x^4 - 4x^2, temos os pontos críticos x = √(1/6) e x = -√(1/6). Analisando os intervalos em torno desses pontos críticos, podemos concluir: - No intervalo (-∞, -√(1/6)), a função é concava para cima. - No intervalo (-√(1/6), √(1/6)), a função é concava para baixo. - No intervalo (√(1/6), +∞), a função é concava para cima. Portanto, temos um ponto de mínimo local em x = -√(1/6) e um ponto de máximo local em x = √(1/6). g. Para graficar a função f(x) = 4x^4 - 4x^2, podemos usar um software de plotagem de gráficos ou uma calculadora gráfica. O gráfico mostrará a forma da curva, os pontos críticos, os pontos de inflexão e a concavidade em diferentes intervalos.