4. Calcular: √(1 + √3i)60 / (−1 + i)20.

Para calcular essa expressão, vamos seguir os seguintes passos: Passo 1: Simplificar as raízes Vamos começar simplificando as raízes presentes na expressão. Temos a raiz quadrada de 3i, que pode ser escrita como √3 * √i. A raiz quadrada de i é √i = 1/√2 + i/√2. Portanto, a raiz quadrada de 3i é √3 * (1/√2 + i/√2). Passo 2: Simplificar o denominador O denominador da expressão é (-1 + i)20. Podemos simplificar isso expandindo a potência de 20. Temos (-1 + i)20 = (-1 + i) * (-1 + i) * ... * (-1 + i) (20 vezes). Podemos simplificar cada termo (-1 + i) usando a fórmula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Aplicando essa fórmula, temos (-1 + i)2 = 1 - 2i + i2 = 1 - 2i - 1 = -2i. Portanto, (-1 + i)20 = (-2i)10 = (-1)10 * (2i)10 = 1 * (2i)10 = (2i)10. Passo 3: Calcular a potência de 2i Para calcular a potência de 2i, vamos usar a fórmula de De Moivre. A fórmula de De Moivre é dada por (cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ). No nosso caso, θ = π/2, pois 2i pode ser escrito como 2 * (cos(π/2) + isen(π/2)). Portanto, (2i)10 = 210 * (cos(10 * π/2) + isen(10 * π/2)) = 1 * (cos(5π) + isen(5π)) = cos(5π) + isen(5π) = -1 + 0i = -1. Passo 4: Calcular a expressão final Agora que simplificamos as raízes e o denominador, podemos calcular a expressão final. Temos √(1 + √3i)60 / (−1 + i)20 = (√3 * (1/√2 + i/√2))60 / (-1) = (√3 * (1/√2 + i/√2))60 / -1 = (√3 * (1/√2 + i/√2))60 * -1 = (√3 * (1/√2 + i/√2))60 * -1 = (√3 * (1/√2 + i/√2)) * (-1)60 = (√3 * (1/√2 + i/√2)) * 1 = √3 * (1/√2 + i/√2) = √3/√2 + √3i/√2 = (√3/√2) + (√3/√2)i = (√3 * √2/2) + (√3 * √2/2)i = √6/2 + √6/2i = (√6 + √6i)/2. Portanto, a resposta é (√6 + √6i)/2.