Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sen 2t, 4t), t [0,4]. Determine o comprimento da hélice C. 4 π √20π π

Para determinar o comprimento da hélice C, podemos utilizar a fórmula do comprimento de curva. A fórmula é dada por: L = ∫[a,b] ||r'(t)|| dt Onde r(t) é a função de parametrização da curva e ||r'(t)|| é a norma do vetor derivada de r(t). No caso da hélice C, temos r(t) = (cos 2t, sen 2t, 4t). Vamos calcular a derivada de r(t): r'(t) = (-2sen 2t, 2cos 2t, 4) Agora, vamos calcular a norma de r'(t): ||r'(t)|| = √((-2sen 2t)^2 + (2cos 2t)^2 + 4^2) = √(4sen^2 2t + 4cos^2 2t + 16) = √(4(sen^2 2t + cos^2 2t) + 16) = √(4 + 16) = √20 Agora, podemos calcular o comprimento da hélice C: L = ∫[0,4] √20 dt = √20 ∫[0,4] dt = √20 [t] [0,4] = √20 (4 - 0) = √20 * 4 = 2√20 = 2√(4 * 5) = 2 * 2√5 = 4√5 Portanto, o comprimento da hélice C é 4√5.