Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização  = ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência....

Para determinar o comprimento da circunferência com a parametrização dada, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco. A fórmula do comprimento de arco é dada por: L = ∫ √(dx/dt)² + (dy/dt)² dt No caso da parametrização dada, temos: x(t) = r cos(t) y(t) = r sen(t) Calculando as derivadas em relação a t: dx/dt = -r sen(t) dy/dt = r cos(t) Substituindo na fórmula do comprimento de arco: L = ∫ √((-r sen(t))² + (r cos(t))²) dt L = ∫ √(r² sen²(t) + r² cos²(t)) dt L = ∫ √(r² (sen²(t) + cos²(t))) dt L = ∫ √(r²) dt L = ∫ r dt L = rt + C Agora, vamos calcular o valor de t para os limites de integração 0 ≤ t ≤ 2π: L = r(2π) - r(0) L = 2πr - 0 L = 2πr Portanto, o comprimento desta circunferência é igual a 2πr. A alternativa correta é 2πr.