Sejam A = (2, 1, 3), B = (m, 3, 5) e C = (0, 4, 1) vértices de um triângulo responda: a) Para qual valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) ...

a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, o vetor AB deve ser perpendicular ao vetor AC. Para isso, podemos utilizar o produto escalar entre os vetores AB e AC e igualar a zero: AB ⋅ AC = 0 (m - 2)(0 - 2) + (3 - 1)(4 - 1) + (5 - 3)(1 - 3) = 0 (m - 2)(-2) + (2)(3) + (2)(-2) = 0 -2m + 4 + 6 - 4 = 0 -2m + 6 = 0 -2m = -6 m = 3 Portanto, para que o triângulo ABC seja retângulo em A, o valor de m deve ser igual a 3. b) Para calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC, podemos utilizar o produto escalar entre os vetores AB e BC, dividido pelo módulo do vetor BC: Projeção de AB sobre BC = (AB ⋅ BC) / |BC| A = (2, 1, 3) B = (m, 3, 5) C = (0, 4, 1) AB = B - A = (m - 2, 3 - 1, 5 - 3) = (m - 2, 2, 2) BC = C - B = (0 - m, 4 - 3, 1 - 5) = (-m, 1, -4) AB ⋅ BC = (m - 2)(-m) + (2)(1) + (2)(-4) = -m² + 2 + (-8) = -m² - 6 |BC| = √((-m)² + 1² + (-4)²) = √(m² + 1 + 16) = √(m² + 17) Projeção de AB sobre BC = (-m² - 6) / √(m² + 17) c) Para determinar o ponto H, pé da altura, podemos utilizar a fórmula do ponto médio entre os pontos B e C: H = (B + C) / 2 H = ((m, 3, 5) + (0, 4, 1)) / 2 H = (m + 0, 3 + 4, 5 + 1) / 2 H = (m, 7, 6) / 2 Portanto, o ponto H, pé da altura, é (m, 7, 6) / 2.

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a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, o vetor AB deve ser perpendicular ao vetor AC. Isso ocorre quando o produto escalar entre esses vetores é igual a zero.

Vamos calcular o vetor AB:

AB = B - A = (m, 3, 5) - (2, 1, 3) = (m - 2, 2, 2)

Agora vamos calcular o vetor AC:

AC = C - A = (0, 4, 1) - (2, 1, 3) = (-2, 3, -2)

Para que AB seja perpendicular a AC, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero:

AB · AC = (m - 2)(-2) + 2(3) + 2(-2) = -2m + 4 + 6 - 4 = -2m + 6 = 0

Igualando a expressão a zero e resolvendo para m, temos:

-2m + 6 = 0

-2m = -6

m = 3

Portanto, o triângulo ABC é retângulo em A quando m = 3.

b) Para calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC, podemos usar o conceito de projeção vetorial. A projeção de AB sobre BC é dada por:

Projeção_AB_BC = (AB · BC) / |BC|

Vamos calcular o vetor BC:

BC = C - B = (0, 4, 1) - (m, 3, 5) = (-m, 1, -4)

Agora vamos calcular o produto escalar entre AB e BC:

AB · BC = (m - 2)(-m) + 2(1) + 2(-4) = -m^2 + 2m + 2 - 8 = -m^2 + 2m - 6

Também precisamos calcular o módulo (norma) de BC:

|BC| = √((-m)^2 + 1^2 + (-4)^2) = √(m^2 + 1 + 16) = √(m^2 + 17)

Agora podemos calcular a projeção:

Projeção_AB_BC = (-m^2 + 2m - 6) / √(m^2 + 17)

c) Para determinar o ponto H, que é o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A, podemos usar a fórmula da projeção vetorial. O vetor AH é a projeção do vetor AB sobre o vetor AC.

Vamos calcular o vetor AH:

AH = Projeção_AB_AC * AC

Já calculamos o vetor AB e o vetor AC anteriormente.

Agora vamos calcular a projeção do vetor AB sobre o vetor AC:

Projeção_AB_AC = (AB · AC) / |AC|

Vamos calcular o produto escalar entre AB e AC:

AB · AC = (m - 2)(-2) + 2(3) + 2(-2) = -2m + 4 + 6 - 4 = -2m + 6

Também precisamos calcular o módulo (norma) de AC:

|AC| = √((-2)^2 + 3^2 + (-2)^2) = √(4 + 9 + 4) = √17

Agora podemos calcular a projeção:

Projeção_AB_AC = (-2m + 6) / √17

Finalmente, podemos calcular o vetor AH:

AH = Projeção_AB_AC * AC

= (-2m + 6) / √17 * (-2, 3, -2)

= (-2m + 6)(-2/√17, 3/√17, -2/√17)

= (4m/√17 - 12/√17, -6/√17 + 18/√17, 4/√17 - 12/√17)

= (4m/√17 - 12/√17, 12/√17, -8/√17)

Portanto, o ponto H é dado por H = (4m/√17 - 12/√17, 12/√17, -8/√17).