Analisando o valor dos ângulos internos do triângulo com vértices A = (1, 0, 0);B = (4, 3, 0) e C = (4, 3, 6), determine se este triângulo é retâng...

Analisando o valor dos ângulos internos do triângulo com vértices A = (1, 0, 0);B = (4, 3, 0) e C = (4, 3, 6), determine se este triângulo é retângulo. Justifique sua resposta.
Solução: Consideramos os vetores
−→ AB = B − A = ⟨3, 3, 0⟩ ⇒ || −→ AB|| = √ 32 + 32 + 02 = 3 √ 2
−→ AC = C − A = ⟨3, 3, 6⟩ ⇒ || −→ AC|| = √ 32 + 32 + 62 = 3 √ 6
−−→ BC = C −B = ⟨0, 0, 6⟩ ⇒ || −−→ BC|| = √ 62 = 6
−→ BA = A−B = ⟨−3,−3, 0⟩ ⇒ || −→ BA|| = √ (−3)2 + (−3)2 + 02 = 3 √ 2
−→ CA = A− C = ⟨−3,−3,−6⟩ ⇒ || −→ CA|| = √ (−3)2 + (−3)2 + (−6)2 = 3 √ 6
−−→ CB = B − C = ⟨0, 0,−6⟩ ⇒ || −−→ CB|| = √ (−6)2 = 6.
Calculamos os ângulos α (entre −→ AB e −→ AC), β (entre −−→ BC e −→ BA) e o ângulo γ (entre −→ CA e −−→ CB). Temos
cosα =
−→ AB · −→ AC
|| −→ AB|| · || −→ AC||
= 18 3 √ 2 · 3 √ 6 = √ 12 6
cos β =
−−→ BC · −→ BA
|| −−→ BC|| · || −→ BA||
= 0 6 · 3 √ 2 = 0
cos γ =
−→ CA · −−→ CB
|| −→ CA|| · || −−→ CB||
= 36 3 √ 6 · 6 = √ 6 3 .
Como cos β = 0, segue que β é um ângulo reto, isto é, β = π/2. Logo se trata de um triângulo retângulo.