22. El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35 %. Elegidos ocho al azar, calcular la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos incluidos...

Para calcular a probabilidade de que entre 3 e 5 (ambos incluídos) dos oito espanhóis escolhidos ao acaso tenham estudos médios, podemos utilizar a distribuição binomial e a aproximação normal da binomial. a) Utilizando a distribuição binomial: A probabilidade de sucesso (espanhóis com estudos médios) é de 35% ou 0,35. A probabilidade de fracasso (espanhóis sem estudos médios) é de 65% ou 0,65. O número de tentativas é 8. Podemos calcular a probabilidade usando a fórmula da distribuição binomial: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) Onde: P(X=k) é a probabilidade de obter exatamente k sucessos C(n, k) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de n elementos tomados k a k p é a probabilidade de sucesso n é o número de tentativas Para calcular a probabilidade de obter entre 3 e 5 sucessos, devemos somar as probabilidades individuais para k = 3, 4 e 5: P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Calculando cada uma das probabilidades: P(X=3) = C(8, 3) * 0,35^3 * 0,65^5 P(X=4) = C(8, 4) * 0,35^4 * 0,65^4 P(X=5) = C(8, 5) * 0,35^5 * 0,65^3 Após calcular essas probabilidades, basta somá-las para obter a probabilidade total. b) Utilizando a aproximação normal da binomial: Quando o número de tentativas é grande e a probabilidade de sucesso não é muito próxima de 0 ou 1, podemos utilizar a aproximação normal da binomial. Nesse caso, podemos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição normal com média μ = n * p e desvio padrão σ = sqrt(n * p * (1-p)). Para calcular a probabilidade de obter entre 3 e 5 sucessos, podemos calcular a probabilidade acumulada utilizando a distribuição normal: P(3 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) - P(X ≤ 2) Calculando cada uma das probabilidades utilizando a distribuição normal, com média μ = 8 * 0,35 e desvio padrão σ = sqrt(8 * 0,35 * 0,65), e aplicando a função de distribuição acumulada da distribuição normal, obtemos a probabilidade total. Lembrando que a aproximação normal é uma aproximação e pode não ser tão precisa quanto a distribuição binomial exata, especialmente quando o número de tentativas é pequeno.