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Álgebra

Colégio Objetivo
Considere a aplicação f: (R×R,+) → (R*,⋅) dada por f (x,y) = 2 x-y. Assinale a alternativa correta.


A) f é um homomorfismo injetor.
X B) f é um homomorfismo sobrejetor.
C) f não é um homomorfismo de grupos.
D) f é um homomorfismo que tem núcleo trivial.
E) f((a,b)+(c,d))=f((a+c,b+d)).
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EXERCICIO 3
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EXERCICIO 3

Respostas

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há 2 anos

A alternativa correta é a letra C) f não é um homomorfismo de grupos. Isso ocorre porque a função f não preserva a operação de adição entre os elementos do domínio, já que f((x1, y1) + (x2, y2)) = f((x1 + x2, y1 + y2)) = 2(x1 + x2 - y1 - y2) ≠ 2(x1 - y1) + 2(x2 - y2) = f((x1, y1)) + f((x2, y2)).

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Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas e assinale a sequência correta.
i) ( ) o Primeiro Teorema do isomorfismo de grupos garante que o domínio de um homomorfismo quocientado por seu núcleo é isomorfo ao contradomínio.
ii) ( ) Se um homomorfismo é sobrejetor e seu núcleo é trivial, o domínio do homomorfismo é isomorfo a seu contradomínio.
iii) ( ) Se um homomorfismo é injetor e sobrejetor ele é um isomorfismo.
A) F,F,F.
X B) V,F,V.
C) F,V,V.
D) V,V,F.
E) V,V,V.


A) F,F,F.
X B) V,F,V.
C) F,V,V.
D) V,V,F.
E) V,V,V.

O Primeiro Teorema do Isomorfismo é um dos principais teoremas da teoria de grupos. Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×). Assinale a alternativa que corresponde à informação correta fornecida por esse teorema:


A) G⁄(Ker f)≃Im f
B) Se H é um subgrupo de G, então G⁄H≃Im f
X C) Se f é injetora então Im f=G.
D) G⁄(Ker f)≃G
E) G⁄(Im f)≃Ker f

Sejam o grupo aditivo Z, n um inteiro qualquer e f:Z→Z dada por f(x)=nx um homomorfismo de grupos. Assinale a alternativa correta.


A) f é um isomorfismo.
X B) Se n≠0 então ker f={0}.
C) f não é um homomorfismo injetor.
D) Se n=0 então ker f={0}
E) f é um homomorfismo sobrejetor.

Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×) um isomorfismo. Assinale a alternativa correta


A) f não é bijetora.
X B) O núcleo de f não contém apenas o elemento neutro de G.
C) Dados a,b∈G, f(a*b)=f(a)*f(b).
D) O núcleo de f contém apenas o elemento neutro de G.
E) f não possui inversa.

Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×) um homomorfismo. Assinale a alternativa correta.


A) Im f é um subgrupo de G.
B) f(eG ) ≠ eG
C) ker ⁡f é um subgrupo de G.
X D) ker⁡ f é um subgrupo de G.
E) Dados a,b ∈ G, f (a*b) = f (a) * f(b).

Assinale a alternativa correta.


A) Seja o grupo multiplicativo R*. Então f:R*→R* dada por f(x)=|x| é um homomorfismo de grupos.
B) Seja o grupo aditivo R. Então f:R→R dada por f(x)=x+1 é um homomorfismo de grupos.
X C) Sejam o grupo multiplicativo R+* e o grupo aditivo Z. Então f:Z→ R+*dada por f(x)=2x não é um homomorfismo de grupos.
D) Seja o grupo aditivo Z e k um inteiro qualquer. Então f:Z→Z dada por f(x)=kx não é um homomorfismo de grupos.
E) Sejam os grupos aditivos Z e Z×Z. Então f:Z→Z×Z dada por f(x)=(x,0) não é um homomorfismo de grupos.

Considere a aplicação f:(R+*,⋅ ) → (R,+) dada por f(x) = log⁡ (x). Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas e assinale a sequência correta.
i) ( ) f é um homomorfismo de grupos.
ii) ( ) f é um homomorfismo injetor.
iii) ( ) f é um isomofismo.


A) V,V,F.
X B) V,V,V.
C) V,F,F.
D) F,F,F.
E) F,V,V.

Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas e assinale a sequência correta.
i) ( ) o Primeiro Teorema do isomorfismo de grupos garante que o domínio de um homomorfismo quocientado por seu núcleo é isomorfo ao contradomínio.
ii) ( ) Se um homomorfismo é sobrejetor e seu núcleo é trivial, o domínio do homomorfismo é isomorfo a seu contradomínio.
iii) ( ) Se um homomorfismo é injetor e sobrejetor ele é um isomorfismo.
A) F,F,F.
X B) V,F,V.
C) F,V,V.
D) V,V,F.
E) V,V,V.


A) F,F,F.
X B) V,F,V.
C) F,V,V.
D) V,V,F.
E) V,V,V.

O Primeiro Teorema do Isomorfismo é um dos principais teoremas da teoria de grupos. Sejam (G,*) e (G,×) dois grupos e f: (G,*)→ (G,×). Assinale a alternativa que corresponde à informação correta fornecida por esse teorema:


A) G⁄(Ker f)≃Im f
B) Se H é um subgrupo de G, então G⁄H≃Im f
X C) Se f é injetora então Im f=G.
D) G⁄(Ker f)≃G
E) G⁄(Im f)≃Ker f

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