Verifique se equação diferencial é exata e em caso afirmativo resolva-a: (4x3+4xy)dx+(2x2+2y-1)dy=0

Para verificar se a equação diferencial é exata, podemos usar o critério de Clairaut. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais em relação a y de ambos os termos: ∂M/∂y = 4x ∂N/∂x = 4x Se ∂M/∂y = ∂N/∂x, então a equação é exata. Neste caso, as derivadas parciais são iguais, portanto, a equação é exata. Agora, para resolver a equação, vamos encontrar uma função potencial Φ(x, y) tal que: ∂Φ/∂x = 4x^3 + 4xy ∂Φ/∂y = 2x^2 + 2y - 1 Integrando a primeira equação em relação a x, obtemos: Φ(x, y) = x^4 + 2x^2y + g(y) Agora, derivando Φ(x, y) em relação a y e igualando a ∂Φ/∂y, temos: 2x^2 + 2y - 1 = ∂Φ/∂y = ∂/∂y (x^4 + 2x^2y + g(y)) Simplificando, obtemos: 2x^2 + 2y - 1 = 2x^2 + g'(y) Portanto, g'(y) = 2y - 1. Integrando em relação a y, temos: g(y) = y^2 - y + C Substituindo g(y) na função potencial Φ(x, y), obtemos: Φ(x, y) = x^4 + 2x^2y + y^2 - y + C Portanto, a solução geral da equação diferencial é: x^4 + 2x^2y + y^2 - y + C = 0 Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.