Utilizando as derivadas sucessivas, encontre o polinômio de grau 4 por Maclaurin, que representa as seguintes funções: (a) f(x) = cos(x) (b) f(x)...

Para encontrar o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa as funções dadas, podemos usar as derivadas sucessivas e a fórmula de Maclaurin. Vou calcular para as duas funções: (a) f(x) = cos(x) Começamos encontrando as derivadas sucessivas de f(x): f'(x) = -sen(x) f''(x) = -cos(x) f'''(x) = sen(x) f''''(x) = cos(x) Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula de Maclaurin: P(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)x²)/2! + (f'''(0)x³)/3! + (f''''(0)x⁴)/4! Substituindo os valores das derivadas: P(x) = cos(0) + (-sen(0))x + (-cos(0)x²)/2! + (sen(0)x³)/3! + (cos(0)x⁴)/4! Simplificando: P(x) = 1 - (x²)/2! + (x⁴)/4! Portanto, o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa a função f(x) = cos(x) é P(x) = 1 - (x²)/2! + (x⁴)/4! (b) f(x) = e^x Vamos encontrar as derivadas sucessivas de f(x): f'(x) = e^x f''(x) = e^x f'''(x) = e^x f''''(x) = e^x Substituindo na fórmula de Maclaurin: P(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)x²)/2! + (f'''(0)x³)/3! + (f''''(0)x⁴)/4! Substituindo os valores das derivadas: P(x) = e^0 + e^0x + (e^0x²)/2! + (e^0x³)/3! + (e^0x⁴)/4! Simplificando: P(x) = 1 + x + (x²)/2! + (x³)/3! + (x⁴)/4! Portanto, o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa a função f(x) = e^x é P(x) = 1 + x + (x²)/2! + (x³)/3! + (x⁴)/4! Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.