8. (Unicamp) a) Identifique as circunferências de equações x£+y£=x e x£+y£=y, calculando o raio e o centro das mesmas. Esboce seus gráficos. b) Det...

a) Para identificar as circunferências de equações x² + y² = x e x² + y² = y, podemos comparar as equações com a forma geral de uma circunferência, que é (x - h)² + (y - k)² = r². Na primeira equação, x² + y² = x, podemos reescrevê-la como (x - 1/2)² + (y - 0)² = (1/2)². Portanto, o centro dessa circunferência é (1/2, 0) e o raio é 1/2. Na segunda equação, x² + y² = y, podemos reescrevê-la como (x - 0)² + (y - 1/2)² = (1/2)². Portanto, o centro dessa circunferência é (0, 1/2) e o raio é 1/2. b) Para determinar os pontos de intersecção dessas circunferências, podemos igualar as equações: x² + y² = x x² + y² = y Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos: x - y = x - y 0 = 0 Isso significa que as duas equações são idênticas e representam a mesma circunferência. Portanto, elas têm infinitos pontos de intersecção. Para mostrar que as retas tangentes em cada um desses pontos são perpendiculares entre si, podemos calcular as derivadas das equações das circunferências. A derivada da equação x² + y² = x em relação a x é 1 - 2x, e a derivada da equação x² + y² = y em relação a x é 1 - 2x. A inclinação da reta tangente a uma curva é dada pela derivada da curva no ponto de tangência. Portanto, a inclinação das retas tangentes em cada ponto de intersecção é 1 - 2x. Se duas retas são perpendiculares entre si, seus produtos das inclinações devem ser iguais a -1. No entanto, como as inclinações das retas tangentes são 1 - 2x, o produto das inclinações não é igual a -1 para todos os pontos de intersecção. Portanto, as retas tangentes não são perpendiculares entre si. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.