Exerćıcio 4: Calcule ∫∫ S ~F ·~n dS , onde ~F(x, y, z) = x~i+ y~j+ z ~k e S a região do plano 2x+ 3y+ z = = 6, situada no primeiro octante, com ~...

Para calcular a integral de superfície ∫∫ S ~F ·~n dS, onde ~F(x, y, z) = x~i+ y~j+ z ~k e S é a região do plano 2x+ 3y+ z = 6, situada no primeiro octante, com ~n apontando para fora de S, podemos utilizar o Teorema de Gauss. Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ~n do plano. Sabemos que o vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes das variáveis x, y e z na equação do plano. No caso, temos ~n = 2~i + 3~j + ~k. Agora, vamos calcular a integral de superfície. Como o vetor ~F é dado por x~i + y~j + z~k, podemos substituir as coordenadas x, y e z do vetor ~F pelos coeficientes do vetor normal ~n. Temos então ~F · ~n = (2x + 3y + z) = 6. A integral de superfície ∫∫ S ~F ·~n dS se torna ∫∫ S 6 dS. Agora, precisamos parametrizar a região S do plano. Podemos escolher, por exemplo, as coordenadas x e y como parâmetros. Assim, podemos escrever x = x, y = y e z = 6 - 2x - 3y. Agora, vamos calcular a integral de superfície ∫∫ S 6 dS. Substituindo as coordenadas paramétricas na integral, temos: ∫∫ S 6 dS = ∫∫ S 6 √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dA ∫∫ S 6 √(1 + 4 + 9) dA = ∫∫ S 6 √14 dA Agora, basta calcular a integral dupla ∫∫ S √14 dA sobre a região S do plano. A forma exata de calcular essa integral depende da forma como a região S está definida. Você pode utilizar métodos como coordenadas polares ou mudança de variáveis para facilitar o cálculo. Espero que isso ajude! Se você tiver alguma dúvida adicional, é só perguntar.