c) Prova por indução Suponha que k3−k divisível por 3, isto é, k3−k = 3m, para algum inteiro não negativo m. Temos: (k + 1)3 − (k + 1) = k3 + ...

Para provar por indução que (k + 1)³ - (k + 1) é divisível por 3, vamos utilizar a hipótese de indução (H.I.) de que k³ - k é divisível por 3. Vamos começar com a expressão (k + 1)³ - (k + 1): (k + 1)³ - (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1 Agora, vamos simplificar essa expressão: = k³ + 3k² + 3k - k + 1 - 1 = k³ + 3k² + 2k Agora, vamos utilizar a H.I. para substituir k³ - k por 3m: = 3m + 3k² + 2k Agora, vamos fatorar o 3 em comum: = 3(m + k² + 2k) A expressão resultante é claramente divisível por 3, pois tem um fator comum de 3. Portanto, provamos por indução que (k + 1)³ - (k + 1) é divisível por 3.