4. (1,0 ) Sejam a, b ∈ R+, p ∈ (1,+∞) e q ∈ R, tal que 1/p + 1/q = 1. Prove que ab ≤ a^p/p + b^q/q. Sugestão: Utilize a função auxiliar f : [0,+...

Para provar que ab ≤ a^p/p + b^q/q, podemos utilizar a desigualdade de Young. A desigualdade de Young afirma que para quaisquer números reais positivos a e b, e para quaisquer expoentes p e q tais que 1/p + 1/q = 1, temos: ab ≤ a^p/p + b^q/q Vamos utilizar a função auxiliar f(x) = x^p/p + 1/q - x. Para provar a desigualdade, vamos analisar o comportamento dessa função. Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x) em relação a x: f'(x) = (x^(p-1) - 1)/p A derivada é positiva para x > 1 e negativa para 0 < x < 1. Isso significa que a função f(x) é crescente no intervalo (1, +∞) e decrescente no intervalo (0, 1). Agora, vamos analisar os valores de f(x) nos extremos do intervalo [0, +∞): - Para x = 0, temos f(0) = 0^p/p + 1/q - 0 = 0. - Para x → +∞, temos f(x) → +∞. Portanto, a função f(x) possui um mínimo global em algum ponto x = a, onde a > 0. Agora, vamos calcular o valor de f(a): f(a) = a^p/p + 1/q - a Como a função f(x) possui um mínimo global em x = a, temos que f(a) ≤ f(0) = 0. Substituindo f(a) na desigualdade: a^p/p + 1/q - a ≤ 0 Simplificando a expressão: a^p/p + 1/q ≤ a Multiplicando ambos os lados da desigualdade por b: ab ≤ a^p/p + b^q/q Portanto, provamos que ab ≤ a^p/p + b^q/q utilizando a função auxiliar f(x).