9. (1,0 ) Seja P5 o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor do que, ou igual a 5, com coeficientes em R. Se T : P5 → P5 é definida por...

Para mostrar que T é um isomorfismo, precisamos verificar duas coisas: que T é linear e que T é bijetora. Para mostrar que T é linear, devemos verificar se ela preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Seja p(x) e q(x) dois polinômios em P5 e a e b escalares em R. Temos: T(a * p(x) + b * q(x)) = 3(a * p'(x) + b * q'(x)) + 5(a * p(x) + b * q(x)) = 3a * p'(x) + 3b * q'(x) + 5a * p(x) + 5b * q(x) = a * (3p'(x) + 5p(x)) + b * (3q'(x) + 5q(x)) = a * T(p(x)) + b * T(q(x)) Portanto, T preserva a adição e a multiplicação por escalar, o que mostra que T é linear. Agora, para mostrar que T é bijetora, devemos verificar se T é injetora e sobrejetora. Para mostrar que T é injetora, devemos verificar se o núcleo de T é trivial, ou seja, se T(p(x)) = 0 implica que p(x) = 0. Temos: T(p(x)) = 3p'(x) + 5p(x) = 0 Para que isso seja verdade para todo p(x) em P5, devemos ter p'(x) = 0 e p(x) = 0. Isso implica que p(x) é o polinômio nulo, ou seja, o núcleo de T é trivial. Portanto, T é injetora. Para mostrar que T é sobrejetora, devemos verificar se a imagem de T é todo o espaço P5. Dado um polinômio q(x) em P5, podemos encontrar um polinômio p(x) tal que p'(x) = q(x) / 3. Portanto, T(p(x)) = 3p'(x) + 5p(x) = 3(q(x) / 3) + 5p(x) = q(x) + 5p(x). Assim, podemos escolher p(x) = (1/5) * q(x) para obter T(p(x)) = q(x), mostrando que T é sobrejetora. Portanto, T é um isomorfismo, pois é linear, injetora e sobrejetora.