q15 capitulo 1 Analise real volume 2

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Questão 15.1
22 de junho de 2020
Questão 15.1
15.1 Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), ponha 〈A,B〉 = tr .AB∗. Prove que
〈A,B〉 =
∑
i,j
aijbij ;
〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗;
〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn);
pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Solução:Parte 1.
Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), considere [aij ] ∈ M(n ×m) a matriz
transformação linear de A e [bij ] ∈ M(n ×m) a matriz t. linear de
B.
OBS:
Adjunta de B deve ser uma transformação linear
B∗ : Rn → Rm que, para v ∈ Rm e w ∈ Rn quaisquer se
tenha:
〈Bv ,w〉 = 〈v ,B∗w〉.
A matriz t. linear da B∗ é a matriz [bji ] transposta da matriz
[bij ].
Questão 15.1
15.1 Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), ponha 〈A,B〉 = tr .AB∗. Prove que
〈A,B〉 =
∑
i,j
aijbij ;
〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗;
〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn);
pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Solução:Parte 1.
Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), considere [aij ] ∈ M(n ×m) a matriz
transformação linear de A e [bij ] ∈ M(n ×m) a matriz t. linear de
B.
OBS:
Adjunta de B deve ser uma transformação linear
B∗ : Rn → Rm que, para v ∈ Rm e w ∈ Rn quaisquer se
tenha:
〈Bv ,w〉 = 〈v ,B∗w〉.
A matriz t. linear da B∗ é a matriz [bji ] transposta da matriz
[bij ].
Questão 15.1
15.1 Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), ponha 〈A,B〉 = tr .AB∗. Prove que
〈A,B〉 =
∑
i,j
aijbij ;
〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗;
〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn);
pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Solução:Parte 1.
Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), considere [aij ] ∈ M(n ×m) a matriz
transformação linear de A e [bij ] ∈ M(n ×m) a matriz t. linear de
B.
OBS:
Adjunta de B deve ser uma transformação linear
B∗ : Rn → Rm que, para v ∈ Rm e w ∈ Rn quaisquer se
tenha:
〈Bv ,w〉 = 〈v ,B∗w〉.
A matriz t. linear da B∗ é a matriz [bji ] transposta da matriz
[bij ].
Questão 15.1
15.1 Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), ponha 〈A,B〉 = tr .AB∗. Prove que
〈A,B〉 =
∑
i,j
aijbij ;
〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗;
〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn);
pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Solução:Parte 1.
Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), considere [aij ] ∈ M(n ×m) a matriz
transformação linear de A e [bij ] ∈ M(n ×m) a matriz t. linear de
B.
OBS:
Adjunta de B deve ser uma transformação linear
B∗ : Rn → Rm que, para v ∈ Rm e w ∈ Rn quaisquer se
tenha:
〈Bv ,w〉 = 〈v ,B∗w〉.
A matriz t. linear da B∗ é a matriz [bji ] transposta da matriz
[bij ].
Questão 15.1
15.1 Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), ponha 〈A,B〉 = tr .AB∗. Prove que
〈A,B〉 =
∑
i,j
aijbij ;
〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗;
〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn);
pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Solução:Parte 1.
Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), considere [aij ] ∈ M(n ×m) a matriz
transformação linear de A e [bij ] ∈ M(n ×m) a matriz t. linear de
B.
OBS:
Adjunta de B deve ser uma transformação linear
B∗ : Rn → Rm que, para v ∈ Rm e w ∈ Rn quaisquer se
tenha:
〈Bv ,w〉 = 〈v ,B∗w〉.
A matriz t. linear da B∗ é a matriz [bji ] transposta da matriz
[bij ].
Questão 15.1
15.1 Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), ponha 〈A,B〉 = tr .AB∗. Prove que
〈A,B〉 =
∑
i,j
aijbij ;
〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗;
〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn);
pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Solução:Parte 1.
Dadas A,B ∈ L(Rm;Rn), considere [aij ] ∈ M(n ×m) a matriz
transformação linear de A e [bij ] ∈ M(n ×m) a matriz t. linear de
B.
OBS:
Adjunta de B deve ser uma transformação linear
B∗ : Rn → Rm que, para v ∈ Rm e w ∈ Rn quaisquer se
tenha:
〈Bv ,w〉 = 〈v ,B∗w〉.
A matriz t. linear da B∗ é a matriz [bji ] transposta da matriz
[bij ].
Questão 15.1
Dáı, note que
AB∗ =

a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
...
... . . .
...
an1 an2 · · · anm


b11 b21 · · · bn1
b12 b22 · · · bn2
...
... . . .
...
b1m b2m · · · bnm

=

m∑
j=1
a1jb1j
m∑
j=1
a1jb2j · · ·
m∑
j=1
a1jbnj
m∑
j=1
a2jb1j
m∑
j=1
a2jb2j · · ·
m∑
j=1
a1jbnj
...
... . . .
...
m∑
j=1
an1b1j
m∑
j=1
anjb2j · · ·
m∑
j=1
anjbnj

Questão 15.1
Dáı, note que
AB∗ =

a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
...
... . . .
...
an1 an2 · · · anm


b11 b21 · · · bn1
b12 b22 · · · bn2
...
... . . .
...
b1m b2m · · · bnm

=

m∑
j=1
a1jb1j
m∑
j=1
a1jb2j · · ·
m∑
j=1
a1jbnj
m∑
j=1
a2jb1j
m∑
j=1
a2jb2j · · ·
m∑
j=1
a1jbnj
...
... . . .
...
m∑
j=1
an1b1j
m∑
j=1
anjb2j · · ·
m∑
j=1
anjbnj

Questão 15.1
Dáı, note que
AB∗ =

a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
...
... . . .
...
an1 an2 · · · anm


b11 b21 · · · bn1
b12 b22 · · · bn2
...
... . . .
...
b1m b2m · · · bnm

=

m∑
j=1
a1jb1j
m∑
j=1
a1jb2j · · ·
m∑
j=1
a1jbnj
m∑
j=1
a2jb1j
m∑
j=1
a2jb2j · · ·
m∑
j=1
a1jbnj
...
... . . .
...
m∑
j=1
an1b1j
m∑
j=1
anjb2j · · ·
m∑
j=1
anjbnj

Questão 15.1
⇒
tr .AB∗ =
( m∑
j=1
a1jb1j ,
m∑
j=1
a2jb2j , · · · ,
m∑
j=1
anjbnj
)
=
∑
i ,j
aijbij .
Questão 15.1
⇒
tr .AB∗ =
( m∑
j=1
a1jb1j ,
m∑
j=1
a2jb2j , · · · ,
m∑
j=1
anjbnj
)
=
∑
i ,j
aijbij .
Questão 15.1
⇒
tr .AB∗ =
( m∑
j=1
a1jb1j ,
m∑
j=1
a2jb2j , · · · ,
m∑
j=1
anjbnj
)
=
∑
i ,j
aijbij .
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗ = tr .B∗A = tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗ = tr .B∗A = tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 =
tr .AB∗ = tr .B∗A = tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗
= tr .B∗A = tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗ = tr .B∗A
= tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗ = tr .B∗A = tr .(A∗B)∗
= tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗ = tr .B∗A = tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B
= tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 2. 〈A,B〉 = tr .B∗A = tr .A∗B = tr .BA∗.
Considere algumas propriedades operacionais da adjunta de uma
transformação linear e traço de matrizes, dadas por
1) (BA)∗ = A∗B∗
2) A∗∗ = A
3) tr .A = tr .(A∗)
4) tr .(AB) = tr .(BA)
5) tr .(αA) = αtr .A
Assim,
〈A,B〉 = tr .AB∗ = tr .B∗A = tr .(A∗B)∗ = tr .A∗B = tr .BA∗.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfazas seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ],
segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉
= tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗
=
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij
=
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij
≥ 0.
Questão 15.1
Parte 3. 〈A,B〉 é um produto interno em L(Rm;Rn).
Basta mostrar que 〈A,B〉 satisfaz as seguintes condições de
produto interno:
P1. 〈A,B〉 = 〈B,A〉;
P2. 〈A + B,C〉 = 〈A,B〉+ 〈B,C〉;
P3. 〈αA,B〉 = α〈A,B〉;
P4. 〈A,A〉 ≥ 0.
De fato,
P1,P2, P3 (É com vocês!!!).
P4.
Considere A = [aij ], segue que
〈A,A〉 = tr .AA∗ =
∑
i ,j
aijaij =
∑
i ,j
a2ij ≥ 0.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}. Assim, para x 6= 0
tem-se ∣∣∣A · x|x |
∣∣∣ ≤ ‖A‖ ⇒ |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}.
Assim, para x 6= 0
tem-se ∣∣∣A · x|x |
∣∣∣ ≤ ‖A‖ ⇒ |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}. Assim, para x 6= 0
tem-se
∣∣∣A · x|x |
∣∣∣ ≤ ‖A‖ ⇒ |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}. Assim, para x 6= 0
tem-se ∣∣∣A · x|x |
∣∣∣
≤ ‖A‖ ⇒ |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}. Assim, para x 6= 0
tem-se ∣∣∣A · x|x |
∣∣∣ ≤ ‖A‖
⇒ |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}. Assim, para x 6= 0
tem-se ∣∣∣A · x|x |
∣∣∣ ≤ ‖A‖ ⇒
|Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1
Parte 4. pondo ‖A‖ =
√
〈A,A〉, tem-se |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Tome ‖A‖ = Sup{|Ax |; x ∈ Rn e |x | = 1}. Assim, para x 6= 0
tem-se ∣∣∣A · x|x |
∣∣∣ ≤ ‖A‖ ⇒ |Ax | ≤ ‖A‖|x |.
Questão 15.1