7. (1,0 ) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V um operador linear. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das...

Vamos analisar cada uma das afirmações: ( ) A união de dois conjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V é ainda um conjunto linearmente independente. Resposta: Verdadeira (V). A união de dois conjuntos linearmente independentes resulta em um conjunto linearmente independente. Isso ocorre porque a combinação linear de vetores de conjuntos linearmente independentes só resulta no vetor nulo se todos os coeficientes forem iguais a zero. ( ) O vetor w = (2, 3,−1) pertence ao subespaço gerado por u = (1, 0, 0) e v = (1, 1, 0). Resposta: Falsa (F). O vetor w não pertence ao subespaço gerado por u e v, pois não é possível escrever w como uma combinação linear de u e v. ( ) Para todo operador linear T : V → V , temos V = Ker(T )⊕ Im(T ). Resposta: Verdadeira (V). Essa afirmação é conhecida como Teorema da Decomposição Fundamental do Espaço Vetorial. Para todo operador linear T : V → V, onde V é um espaço vetorial de dimensão finita, temos que V é igual à soma direta do núcleo (Ker(T)) e da imagem (Im(T)) de T. ( ) Se a transformação linear T : Rm → Rn é injetiva, então dimIm(T ) = m. Resposta: Verdadeira (V). Se a transformação linear T : Rm → Rn é injetiva (ou seja, cada vetor de Rm é mapeado para um único vetor em Rn), então a dimensão da imagem de T é igual à dimensão do domínio, ou seja, dimIm(T) = m. Espero ter ajudado! Se tiver mais dúvidas, é só perguntar.