Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n ≥ 1 e sejam: A = {u1, u2, . . . , up}, B = {v1, v2, . . . , vq} subconjuntos de V , onde u1, . . ....

A alternativa correta é a letra d) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. Justificativa: (I) Se A é linearmente independente e B é linearmente dependente, então q ≥ p. Isso ocorre porque se B é linearmente dependente, então existe um vetor em B que pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores de B. Como A é linearmente independente, esse vetor não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de A. Portanto, q ≥ p. (II) Se A é linearmente independente e q ≥ n, então q ≥ p. Isso ocorre porque se q ≥ n, então o conjunto B não pode ser linearmente independente, pois tem mais vetores do que a dimensão do espaço vetorial. Portanto, B é linearmente dependente e, como A é linearmente independente, q ≥ p. (III) Se B gera V e n ≥ p, então q ≥ p. Isso ocorre porque se B gera V, então qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B. Como n ≥ p, então existe um conjunto de p vetores de B que é linearmente dependente. Portanto, q ≥ p.