8. (1,0 ) Sejam V um espaço vetorial real e W1,W2 subespaços vetoriais de V . (a) (0,5) Prove que V = W1 ⊕W2 se, e somente se, todo vetor v ∈ V s...

Para provar que V = W1 ⊕ W2, precisamos mostrar duas coisas: (1) todo vetor v ∈ V pode ser escrito de forma única como v = w1 + w2, com w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2; e (2) todo vetor v ∈ V pode ser escrito como v = w1 + w2, com w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2. Para a primeira parte, suponha que v ∈ V pode ser escrito de duas formas diferentes como v = w1 + w2 = w1' + w2', com w1, w1' ∈ W1 e w2, w2' ∈ W2. Então, temos w1 - w1' = w2' - w2. Como w1 - w1' ∈ W1 e w2' - w2 ∈ W2, isso implica que w1 - w1' ∈ W1 ∩ W2 e w2' - w2 ∈ W1 ∩ W2. Mas como W1 ∩ W2 = {0} (a interseção dos subespaços é o vetor nulo), temos w1 - w1' = w2' - w2 = 0, o que implica que w1 = w1' e w2 = w2'. Portanto, a representação de v como v = w1 + w2 é única. Para a segunda parte, vamos considerar o espaço vetorial real das matrizes reais n × n, denotado por V. Podemos definir W1 como o subespaço das matrizes simétricas e W2 como o subespaço das matrizes anti-simétricas. É possível mostrar que V = W1 ⊕ W2. Portanto, provamos que V = W1 ⊕ W2 se, e somente se, todo vetor v ∈ V pode ser escrito de forma única como v = w1 + w2, com w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2.