10. (1,0 ) Seja T : R2 → R2 uma transformação linear, com T (1,−1) = (2, 3) e T (2, 1) = (3, 2). Prove que T é diagonalizável.

Para provar que uma transformação linear T : R2 → R2 é diagonalizável, precisamos mostrar que existem dois vetores linearmente independentes que são autovetores de T. Dado que T(1, -1) = (2, 3) e T(2, 1) = (3, 2), vamos verificar se esses vetores são autovetores de T. Para o vetor (1, -1): T(1, -1) = (2, 3) Isso implica que T(1, -1) = 2(1, -1) + 3(0, 1) Portanto, (1, -1) é um autovetor de T associado ao autovalor 2. Para o vetor (2, 1): T(2, 1) = (3, 2) Isso implica que T(2, 1) = 3(1, -1) + 2(0, 1) Portanto, (2, 1) é um autovetor de T associado ao autovalor 3. Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se eles forem, então T é diagonalizável. Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas: [1 2] [-1 1] Calculando o determinante dessa matriz, temos: det([1 2] [-1 1]) = (1 * 1) - (2 * -1) = 1 + 2 = 3 Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Portanto, podemos concluir que T é diagonalizável, pois encontramos dois vetores linearmente independentes que são autovetores de T.