Exercício 58 – (FUVEST, 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circ...

Para resolver esse exercício, vamos analisar a figura e utilizar algumas propriedades dos quadriláteros inscritos em circunferências. Sabemos que a diagonal desenhada é um diâmetro da circunferência, o que significa que o ângulo formado por essa diagonal e qualquer lado do quadrilátero é um ângulo reto (90°). Vamos chamar os ângulos indicados na figura de x e y, como mencionado no enunciado. Como temos um ângulo reto, podemos concluir que os ângulos opostos são complementares. Portanto, o ângulo oposto a x é 90° - x, e o ângulo oposto a y é 90° - y. A área da região cinza é a diferença entre a área do quadrilátero inscrito na circunferência e a soma das áreas dos triângulos formados pelos ângulos x e y. A área do quadrilátero inscrito em uma circunferência de raio 1 é igual a 2, pois é a soma das áreas dos dois triângulos retângulos formados pelos ângulos x e y. A área de cada triângulo retângulo é dada por (1/2) * cateto1 * cateto2. No caso, os catetos são sen(x) e sen(y). Portanto, a área de cada triângulo é (1/2) * sen(x) * sen(y). A área da região cinza é então 2 - 2 * (1/2) * sen(x) * sen(y), que simplifica para 2 - sen(x) * sen(y). Portanto, a resposta correta é a letra b) ???? − sen(2????) − sen(2????).