Exercício 58 – (FUVEST, 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circ...

Para resolver esse exercício, podemos utilizar a fórmula da área do quadrilátero inscrito em uma circunferência, que é dada por: Área = (diagonal x produto das semi-diagonais) / 2 Como a diagonal é um diâmetro da circunferência, temos que a diagonal mede 2. Além disso, podemos calcular as semi-diagonais utilizando a lei dos senos no triângulo menor: sen(x) / semi-diagonal menor = sen(y) / semi-diagonal maior Logo, temos que: semi-diagonal menor = (sen(x) / sen(y)) * semi-diagonal maior Substituindo na fórmula da área, temos: Área = (2 x semi-diagonal maior x (sen(x) / sen(y)) x semi-diagonal maior) / 2 Simplificando, temos: Área = semi-diagonal maior^2 x sen(x) / sen(y) Agora, precisamos calcular a semi-diagonal maior. Para isso, podemos utilizar a lei dos cossenos no triângulo maior: semi-diagonal maior^2 = 1^2 + 1^2 - 2 x 1 x 1 x cos(180 - x - y) Simplificando, temos: semi-diagonal maior^2 = 2 + 2cos(x + y) Substituindo na fórmula da área, temos: Área = (2 + 2cos(x + y)) x sen(x) / sen(y) Simplificando, temos: Área = 2sen(x) / sen(y) + 2sen(x)cos(x + y) / sen(y) Finalmente, podemos simplificar a expressão utilizando as identidades trigonométricas: Área = 2sen(x) / sen(y) + sen(x)cos(x)cos(y) / sen(y) - sen(x)sen(y)cos(y) / sen(y) Área = 2sen(x) / sen(y) + sen(x)cos(x)cos(y) / sen(y) - sen(x)sen(y) Área = 2sen(x) / sen(y) + sen(x)cos(x)cos(y) / sen(y) - cos(x)sen(y)sen(x) / sen(y) Área = 2sen(x) / sen(y) + (sen(x)cos(x)cos(y) - cos(x)sen(y)sen(x)) / sen(y) Área = 2sen(x) / sen(y) + sen(x)cos(y - x) / sen(y) Portanto, a área da região cinza é dada pela alternativa: a) ???? + sen(2????) + sen(2????)