1. (3.0) Resolva (justificando): (a) Um comitê de 10 estudantes deve ser selecionado de uma turma de 25 calouros e 35 veteranos. De quantas maneira...

(a) Para calcular o número de maneiras de selecionar um comitê com pelo menos um calouro, podemos utilizar o princípio da inclusão-exclusão. Primeiro, calculamos o número total de comitês possíveis, que é dado por C(60, 10), onde 60 é o total de estudantes (25 calouros + 35 veteranos) e 10 é o número de vagas no comitê. Em seguida, calculamos o número de comitês formados apenas por veteranos, que é dado por C(35, 10). Por fim, subtraímos esse número do total de comitês possíveis para obter o número de comitês com pelo menos um calouro. Portanto, o número de maneiras de selecionar comitês com pelo menos um calouro é dado por C(60, 10) - C(35, 10). (b) Para determinar o número de soluções inteiras e estritamente positivas da equação x + y + z + w = 27, com x ≥ 3 e w ≥ 2, podemos utilizar o método das estrelas e barras. Considerando que x ≥ 3, podemos substituir x' = x - 3, de forma que a nova equação seja x' + y + z + w = 24. Agora, podemos utilizar o método das estrelas e barras para calcular o número de soluções inteiras e estritamente positivas dessa nova equação, que é dado por C(23, 3). No entanto, como w ≥ 2, precisamos subtrair as soluções em que w = 1. Para isso, podemos considerar w' = w - 1, de forma que a nova equação seja x' + y + z + w' = 23. O número de soluções inteiras e estritamente positivas dessa nova equação é dado por C(22, 3). Portanto, o número total de soluções é dado por C(23, 3) - C(22, 3). (c) Para calcular o coeficiente de a^(-10) no desenvolvimento de (4√a b^2 - 2√b a)^100(4√a b^2 + 2√b a)^100, podemos utilizar o binômio de Newton. O coeficiente de a^(-10) será dado pelo termo em que o expoente de a é -10 no primeiro fator e o expoente de a é 10 no segundo fator. Portanto, o coeficiente será dado por C(100, 10) * (4√a b^2)^(-10) * (2√b a)^10. Simplificando essa expressão, temos C(100, 10) * (b^(-1) * a^(-5)) * (b * a^5). Portanto, o coeficiente de a^(-10) é dado por C(100, 10) * b * a^0, que é igual a C(100, 10) * b.