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a) Gráfico da função f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) Usando uma análise gráfica e teórica vamos mostrar que a equação f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) possui uma ú...

a) Gráfico da função f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x)

Usando uma análise gráfica e teórica vamos mostrar que a equação f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) possui uma única raiz no intervalo [0,1]. Seja R = os Reais
Analisando o gráfico note que D(f)= R
Temos que graficamente a equação possui uma raiz no intervalo [0,1]. Fazendo uma análise teórica.
Defina [a,b]=[0,1].
Note que f: [0,1]→R é contínua e f(a).f(b)=f(0).f(1)<0, pois f(0)=-1 e f(1)=0,8943
Assim o teorema 1.1 (visto em aula) nos garante que nesse intervalo possui pelo menos uma raiz.
Vejamos ainda que f:[0,1] →R é diferenciavel, pois f`(x) = 3/2cos(x)+e^(-x).
Além disso f`(x)>0 para todo x pertencente ]0,1[, pois f´(0)=2,5 e f`(1)=1,1783.
Assim pelo teorema 2.1(visto em aula) temos que o intervalo [0,1] possui uma única raiz.


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métodos numéricos questões de avaliação Os itens 1a e 7 estão corretos Na questão 1b) não use o método da bisseção e sim a interpolação inversa
3 pág.

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A função f(x) = 3/2 * sen(x) - e^(-x) possui uma única raiz no intervalo [0,1]. Isso pode ser demonstrado tanto por uma análise gráfica quanto teórica. Analisando o gráfico da função, podemos observar que ela cruza o eixo x uma única vez no intervalo [0,1], indicando a existência de uma raiz nesse intervalo. Além disso, podemos fazer uma análise teórica utilizando o Teorema de Bolzano. Definindo [a,b] = [0,1], temos que f(a) * f(b) = f(0) * f(1) < 0, pois f(0) = -1 e f(1) = 0,8943. Isso significa que a função muda de sinal no intervalo [0,1], o que implica na existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo. Também podemos observar que a função f(x) é diferenciável em [0,1], pois f'(x) = 3/2 * cos(x) + e^(-x). Além disso, f'(x) > 0 para todo x pertencente ao intervalo (0,1), pois f'(0) = 2,5 e f'(1) = 1,1783. Pelo Teorema de Rolle, isso implica que a função possui apenas uma raiz no intervalo [0,1]. Portanto, tanto a análise gráfica quanto a teórica mostram que a equação f(x) = 3/2 * sen(x) - e^(-x) possui uma única raiz no intervalo [0,1].

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