a) Gráfico da função f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) Usando uma análise gráfica e teórica vamos mostrar que a equação f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) possui uma ú...

A função f(x) = 3/2 * sen(x) - e^(-x) possui uma única raiz no intervalo [0,1]. Isso pode ser demonstrado tanto por uma análise gráfica quanto teórica. Analisando o gráfico da função, podemos observar que ela cruza o eixo x uma única vez no intervalo [0,1], indicando a existência de uma raiz nesse intervalo. Além disso, podemos fazer uma análise teórica utilizando o Teorema de Bolzano. Definindo [a,b] = [0,1], temos que f(a) * f(b) = f(0) * f(1) < 0, pois f(0) = -1 e f(1) = 0,8943. Isso significa que a função muda de sinal no intervalo [0,1], o que implica na existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo. Também podemos observar que a função f(x) é diferenciável em [0,1], pois f'(x) = 3/2 * cos(x) + e^(-x). Além disso, f'(x) > 0 para todo x pertencente ao intervalo (0,1), pois f'(0) = 2,5 e f'(1) = 1,1783. Pelo Teorema de Rolle, isso implica que a função possui apenas uma raiz no intervalo [0,1]. Portanto, tanto a análise gráfica quanto a teórica mostram que a equação f(x) = 3/2 * sen(x) - e^(-x) possui uma única raiz no intervalo [0,1].