métodos numéricos questões de avaliação Os itens 1a e 7 estão corretos Na questão 1b) não use o método da bisseção e sim a interpolação inversa

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1)a) 
Gráfico da função f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) 
 
Usando uma análise gráfica e teórica vamos mostrar que a equação f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) 
possui uma única raiz no intervalo [0,1]. 
Seja R = os Reais 
Analisando o gráfico note que D(f)= R 
Temos que graficamente a equação possui uma raiz no intervalo [0,1]. 
Fazendo uma análise teórica. 
Defina [a,b]=[0,1]. 
Note que f: [0,1]→R é contínua e f(a).f(b)=f(0).f(1)<0, pois f(0)=-1 e f(1)=0,8943 
Assim o teorema 1.1 (visto em aula) nos garante que nesse intervalo possui pelo menos uma 
raiz. 
Vejamos ainda que f:[0,1] →R é diferenciavel, pois f`(x) = 3/2cos(x)+e^(-x). 
Além disso f`(x)>0 para todo x pertencente ]0,1[, pois f´(0)=2,5 e f`(1)=1,1783. 
Assim pelo teorema 2.1(visto em aula) temos que o intervalo [0,1] possui uma única raiz. 
Prof.
Prof.
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Na parte b) devia usar interpolação inversa.
Portanto a equação f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x) no intervalo [0,1] possui uma única raiz. 
 
b) 
Considere a equação f(x)= 3/2*sen(x)-e^(-x)=o, x pertence [0,1] 
Vamos utilizar o método da bisseção para determinar uma aproximação para a raiz. Pelo item 
a já sabemos que a raiz está no intervalo [0,1]. 
Temos que a=0 e b=1 então a estimativa inicial da raiz é x0=0,5 
Portanto obtemos as seguintes interações pelo método da bisseção: 
 
Conclui-se que a raiz aproximada da equação f(x) é 0.4453 com precisão de 0.01. 
7) 
a) Vamos utilizar o método da secante, pois este método é uma variação do 
método de Newton na qual não há a necessidade de se conhecer as raízes. 
Primeiro façamos uma mudança de variável: h → x e v → f 
E tome x1=0,25 e x2=0,5 
Queremos calcular f(x)=0,5 
f(x) = 0, i.e., ((πx^2(3 × 1 - x))/3) -0,5=0 
 
Note que 
A solução é atingida ao fim de 3 iterações, com h* ≈ 0.431128. 
 
b) usando o método da secante no intervalo [2.5, 3] obtemos 
 
 
A profundidade do reservatório é de h* ≈ 2.944140. 
A solução é inviável, pois excede o limite do reservatório.