(3) (a) Determine a área da superf́ıcie z = x2 + 2y que está acima do triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2). ?(b) A superf́ıcie com pa...

(a) Para determinar a área da superfície z = x² + 2y acima do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,2), podemos utilizar a fórmula da integral de superfície: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂z)/(∂x)×(∂z)/(∂y)∥dA〗〗 Onde S é a superfície, D é a projeção da superfície no plano xy e dA é a área de um elemento de superfície em D. Calculando as derivadas parciais de z em relação a x e y, temos: (∂z)/(∂x) = 2x (∂z)/(∂y) = 2 Assim, o vetor normal à superfície é dado por: N = (-2x, -2, 1) Para que a normal esteja apontando para cima, devemos escolher a raiz positiva de z: z = x² + 2y ≥ 0 x² + 2y - z ≥ 0 Portanto, a área da superfície acima do triângulo é dada por: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂z)/(∂x)×(∂z)/(∂y)∥dA〗〗 = ∫_0^1 ∫_0^(2x) ∥N∥ dA = ∫_0^1 ∫_0^(2x) √(8x²+5) dA ≈ 2,98 (b) O helicoide é uma superfície que se parece com uma mola. Para esboçar a superfície, podemos fixar v e variar u, obtendo uma curva helicoidal. Para cada ponto da curva, a altura é dada por v. Portanto, a superfície é formada por infinitas curvas helicoidais, cada uma com altura diferente. Para calcular a área da superfície, podemos utilizar a fórmula da integral de superfície: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂r)/(∂u)×(∂r)/(∂v)∥dA〗〗 Onde S é a superfície, D é a projeção da superfície no plano uv e dA é a área de um elemento de superfície em D. A parametrização do helicoide é dada por: x = u cos(v) y = u sin(v) z = v Calculando as derivadas parciais de r em relação a u e v, temos: (∂r)/(∂u) = (cos(v), sin(v), 0) (∂r)/(∂v) = (-u sin(v), u cos(v), 1) Assim, o vetor normal à superfície é dado por: N = (∂r)/(∂u)×(∂r)/(∂v) = (-u cos(v), -u sin(v), u) Portanto, a área da superfície é dada por: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂r)/(∂u)×(∂r)/(∂v)∥dA〗〗 = ∫_0^π ∫_0^1 u √(1+u²) dv du ≈ 4,96 (c) A faixa de Möbius é uma superfície que tem a propriedade de ter apenas uma face e uma borda. Para calcular a área da superfície, podemos utilizar a fórmula da integral de superfície: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂r)/(∂r)×(∂r)/(∂θ)∥dA〗〗 Onde S é a superfície, D é a projeção da superfície no plano rθ e dA é a área de um elemento de superfície em D. A parametrização da faixa de Möbius é dada por: x = (2+rcos(θ/2))cos(θ) y = (2+rcos(θ/2))sin(θ) z = rsin(θ/2) Calculando as derivadas parciais de r em relação a r e θ, temos: (∂r)/(∂r) = (cos(θ/2), sin(θ/2), 0) (∂r)/(∂θ) = (-r/2 sin(θ/2), r/2 cos(θ/2), 1) Assim, o vetor normal à superfície é dado por: N = (∂r)/(∂r)×(∂r)/(∂θ) = (-r/2 cos(θ/2), -r/2 sin(θ/2), 2+rcos(θ/2)) Portanto, a área da superfície é dada por: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂r)/(∂r)×(∂r)/(∂θ)∥dA〗〗 = ∫_0^(2π) ∫_-1/2^1/2 √(1+r²/4) dr dθ ≈ 4,94 (d) A interseção dos cilindros y²+z²=1 e x²+z²=1 é uma superfície que se parece com um anel. Para calcular a área da superfície, podemos utilizar a fórmula da integral de superfície: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂r)/(∂r)×(∂r)/(∂θ)∥dA〗〗 Onde S é a superfície, D é a projeção da superfície no plano rθ e dA é a área de um elemento de superfície em D. A parametrização da superfície é dada por: x = cos(θ) y = r z = sin(θ) Calculando as derivadas parciais de r em relação a r e θ, temos: (∂r)/(∂r) = (0, 1, 0) (∂r)/(∂θ) = (-sin(θ), 0, cos(θ)) Assim, o vetor normal à superfície é dado por: N = (∂r)/(∂r)×(∂r)/(∂θ) = (-cos(θ), 0, -sin(θ)) Portanto, a área da superfície é dada por: ∬_S▒〖dS=∬_D▒〖∥(∂r)/(∂r)×(∂r)/(∂θ)∥dA〗〗 = ∫_0^(2π) ∫_0^1 √(1+r²) r dr dθ ≈ 5,68 (e) Se |fx| ≤ 1 e |fy| ≤ 1, então a superfície S está contida em um cilindro de raio R e altura 2R, onde R é o raio do disco x²+y²≤R². Portanto, a área de S é menor ou igual à área da superfície do cilindro, que é 2πR(2R) = 4πR².