8. Em cada um dos casos a seguir, calcule a área da superf́ıcie obtida pela revolução do gráfico da função dada, sobre o intervalo indicado. ...

Para calcular a área da superfície obtida pela revolução do gráfico de uma função sobre um intervalo, podemos utilizar a fórmula da área de uma superfície de revolução. Essa fórmula é dada por: A = 2π ∫[a,b] f(x) √(1 + (f'(x))^2) dx Onde: - A é a área da superfície de revolução - π é o número pi - [a,b] é o intervalo dado - f(x) é a função dada - f'(x) é a derivada da função f(x) Vamos calcular a área para cada um dos casos: 8.1 f(x) = x^2/2, [0, 2]: Nesse caso, temos f'(x) = x. Substituindo na fórmula, temos: A = 2π ∫[0,2] (x^2/2) √(1 + x^2) dx 8.2 f(x) = ex , [0, 1]: Nesse caso, temos f'(x) = ex. Substituindo na fórmula, temos: A = 2π ∫[0,1] (ex) √(1 + (ex)^2) dx 8.3 f(x) = 2√x , [1, 4]: Nesse caso, temos f'(x) = 1/√x. Substituindo na fórmula, temos: A = 2π ∫[1,4] (2√x) √(1 + (1/√x)^2) dx 8.4 f(x) = sen x , [0, π/2]: Nesse caso, temos f'(x) = cos x. Substituindo na fórmula, temos: A = 2π ∫[0,π/2] (sen x) √(1 + (cos x)^2) dx Agora você pode calcular a área para cada um dos casos utilizando a fórmula da área de uma superfície de revolução.