Dividiremos a curva x2 + (y − 1)2 = 1 em duas funções, ambas sobre o mesmo intervalo, [−1, 1]. A função f1(x) = 2 + √ 1− x2 tem por gráfico o ...

Dividiremos a curva x2 + (y − 1)2 = 1 em duas funções, ambas sobre o mesmo intervalo, [−1, 1]. A função f1(x) = 2 + √ 1− x2 tem por gráfico o semićırculo superior, enquanto a função f2(x) = 2− √ 1− x2 tem por gráfico o semićırculo inferior. A integral V1 = ∫ 1 −1 π [ f1(x) ]2 dx determina o volume do toro cheio, inclúıdo o buraco. Já a integral V2 = ∫ 1 −1 π [ f2(x) ]2 dx determina, precisamente, o volume do buraco. V = V1 − V2 é o volume do toro: V = π ∫ 1 −1 (2 + √ 1− x2)2 dx − π ∫ 1 −1 (2− √ 1− x2)2 dx = 8π ∫ 1 −1 √ 1− x2 dx = 8π π 2 = 4π2.