Calcule as integrais definidas a seguir: 4.1 ∫ 2 0 x / √(4− x2) dx 4.2 ∫ π/3 π/6 cot θ dθ 4.3 ∫ ln 3 0 ex(1 + ex)2 dx 4.4 ∫ e^(1 / ln x) / x dx

Claro! Vou calcular as integrais definidas para você: 4.1 ∫ 2 0 x / √(4− x^2) dx: Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição trigonométrica x = 2sin(t). Fazendo essa substituição, a integral se torna: ∫ π/6 -π/6 2sin(t) / √(4− 4sin^2(t)) * 2cos(t) dt Simplificando, temos: 4 ∫ π/6 -π/6 sin(t)cos(t) dt Usando a identidade trigonométrica sin(2t) = 2sin(t)cos(t), podemos reescrever a integral como: 2 ∫ π/6 -π/6 sin(2t) dt A integral de sin(2t) é -cos(2t), então temos: 2 [-cos(2t)] π/6 -π/6 Substituindo de volta o valor de t, temos: -2 [cos(2π/6) - cos(-2π/6)] -2 [cos(π/3) - cos(-π/3)] -2 [1/2 - 1/2] -2 * 0 0 Portanto, a integral definida 4.1 é igual a 0. 4.2 ∫ π/3 π/6 cot θ dθ: Para resolver essa integral, podemos usar a identidade trigonométrica cot(θ) = 1/tan(θ), que nos dá: ∫ π/3 π/6 (1/tan(θ)) dθ A integral de (1/tan(θ)) é ln|sec(θ)|, então temos: ln|sec(θ)| π/3 π/6 Substituindo os limites de integração, temos: ln|sec(π/3)| - ln|sec(π/6)| ln|2| - ln|√3| ln(2/√3) Portanto, a integral definida 4.2 é igual a ln(2/√3). 4.3 ∫ ln 3 0 e^x(1 + e^x)^2 dx: Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição u = 1 + e^x. Fazendo essa substituição, a integral se torna: ∫ ln 3 0 u^2 du Integrando, temos: (u^3)/3 ln 3 0 Substituindo de volta o valor de u, temos: [(1 + e^x)^3]/3 ln 3 0 Portanto, a integral definida 4.3 é igual a [(1 + e^x)^3]/3 ln 3 0. 4.4 ∫ e^(1 / ln x) / x dx: Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição u = 1/ln(x). Fazendo essa substituição, a integral se torna: ∫ e^u du Integrando, temos: e^u + C Substituindo de volta o valor de u, temos: e^(1/ln(x)) + C Portanto, a integral definida 4.4 é igual a e^(1/ln(x)) + C. Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma pergunta, é só me dizer.